微分の公式
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簡単に微分をしよう

前回は、接線の傾きの指標となる「導関数」を求める、微分というものを解説しました。

微分とは、 $\displaystyle{\lim_{h{\rightarrow}0}\frac{f(x+h)-f(x)}h}$ のように、極限値を使って求めることができます。

しかし、普通の人は、いちいち極限値を求めて微分をすることは、ほとんどありません(ごくまれにはあります)。
たいていは、だれもが簡単に微分ができるようにと、とても便利な公式があります。

このような、微分の公式を使えば、驚くほど微分が簡単にできると思うので、以下にいくつか微分の公式を紹介したいと思います。

公式その1

微分に関して、まず以下の公式が成り立ちます。
この公式は、結構覚えやすいですよね?
$\displaystyle{x}$についている指数がそのまま係数になり、
それから$\displaystyle{x}$の指数が一つだけ小さくなった、って感じですかね?


要するに、以下の公式がなりたちます。
$\displaystyle{(x^n)'=nx^{n-1}}$


例えばn=5のとき、
$\displaystyle{(x^5)'=5x^4}$
となります。

公式その2

$\displaystyle{a}$が定数、つまり$\displaystyle{x}$を含まない数のとき、
$\displaystyle{(af(x))'=af'(x)}$

例えば、
$\displaystyle{(4x^3)'=4(x^3)'=4{\times}3x^2=12x^2}$
のようになります。

つまり、3や4などの定数係数は別に考えてもよいのです。

公式その3

$\displaystyle{a}$が定数、つまり$\displaystyle{x}$を含まない数のとき、
$\displaystyle{a'=0}$
つまり、定数は微分したら絶対に0になります。

それもそのはず、
$\displaystyle{y=a}$ のグラフはx軸に平行な直線なので、
接線の傾きは0、つまり横のグラフになります。

公式その4


つまり、足し算や引き算によって、微分は分解できるのです。

例えば、
$\displaystyle{(x^3+x^2)'=3x^2+2x}$
のように、各項ごとに、微分を分解することができます。

もちろん、
$\displaystyle{(x^3+x^2+x)'=3x^2+2x+1}$
のように、項が3つ以上あっても、大丈夫です。

まとめ

これらの公式を使うことにより、
たいていの多項式は微分することができます。

例えば、
$\displaystyle{f(x)=ax^2+bx+c}$
を微分したら、
$\displaystyle{f'(x)=2ax+b}$
となります。


また、
$\displaystyle{f(x)=(x-1)^2}$
この場合はどうでしょうか?
このままでは、微分の公式にあてはまりそうにもないので、まず展開します。
そうすると、
$\displaystyle{f(x)=x^2-2x+1}$
となります。
この形なら、微分できそうですね?
よって、微分してみると、
$\displaystyle{f'(x)=2x-2}$
となります。

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