「積分」とは、微分の逆のことをしているのが分かりましたか？

今回は、その積分にまつわる公式を紹介していきます

微分に関して、まず以下の公式が成り立ちます。

• $\displaystyle{\int{dx}=\int{1dx}=x+C}$
• $\displaystyle{\int{xdx}=\frac{1}{2}x^2+C}$
• $\displaystyle{\int{x^2dx}=\frac{1}{3}x^3+C}$

一般的には、以下の形で覚えた方が分かりやすいでしょうか？
$\displaystyle{\int{x^nd}=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C}$


例えばn=5のとき、
$\displaystyle{\int{x^5dx}=\frac{1}{6}x^6+C}$ となります。


慣れないうちは、何だかややこしい形に見えるかもしれません。
もし、積分したときの答えが心配な時は、逆に微分をしてみて確かめてみるのがいいでしょう。

$\displaystyle{a}$が定数、つまり$\displaystyle{x}$を含まない数のとき、
$\displaystyle{\int{af(x)dx}=a\int{f(x)dx}}$

例えば、
$\displaystyle{\int{4x^2dx}=4\int{x^2dx}}$
$\displaystyle{=4{\times}(\frac{1}{3}x^3+D)=\frac{4}{3}x^3+C}$
のようになります。

ここで、 $\displaystyle{C=4D}$ で$\displaystyle{C}$と$\displaystyle{D}$はいずれも積分定数です。



・・・ところで、むやみに係数を別にしなくてもよいことがあります。
例えば、
$\displaystyle{\int{2xdx}}$
のとき、$\displaystyle{x^2}$を微分すれば$\displaystyle{2x}$になるのをもし見つけることができれば、
$\displaystyle{\int{2xdx}=x^2+C}$
であると分かることが思います。
こう考えると(まぁ慣れればの話ですが)係数を外に出さなくても楽に計算できますね？
(↑でもまだ積分に慣れていない人は、無理をしないでください😖 積分の計算には、慣れが必要です)
$\displaystyle{\int{(n+1)x^ndx}=x^{n+1}+C}$

• $\displaystyle{\int{\{f(x)+g(x)\}dx}=\int{f(x)dx}+\int{g(x)dx}}$
• $\displaystyle{\int{\{f(x)-g(x)\}dx}=\int{f(x)dx}-\int{g(x)dx}}$

つまり積分は足し算や引き算によって分解できます。

例えば、
$\displaystyle{\int{(3x^2+2x)dx}=x^3+x^2+C}$
のように計算できます。
くれぐれも最後に積分定数を忘れずに！！！

すぐ分かると思いますが、

• $\displaystyle{\int{0dx}=C}$
• $\displaystyle{\int{adx}=ax+C}$

(ただし、$\displaystyle{a}$は定数)