不定積分と定積分
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初期値問題

積分とは、関数を微分する前の形に直すことでした。
しかし、前回お話したように、
積分しても、元の関数(原始関数)が完全に復元できるわけではなく、
$\displaystyle{\int{2xdx}=x^2+C}$
↑↑の積分定数Cのような、どうしても不確定な所がでてしまいます。



でも・・・!
「この関数は、微分する前は$\displaystyle{x=3}$のときの値は$\displaystyle{5}$だったよ〜」
というような条件があれば、
先ほど不確定のままだった積分定数Cを求めることができます!!!


例えば上の例でしたら、
微分する前の関数$\displaystyle{x^2+C}$$\displaystyle{x=3}$のときの値が$\displaystyle{5}$だと言っているので、
これに$\displaystyle{x=3}$を代入して、
$\displaystyle{3^2+C=5}$
これを積分定数である$\displaystyle{C}$について解くと、
$\displaystyle{C=-4}$という結果がでました。

よって、この関数は微分する前は、
$\displaystyle{x^2-4}$
という形であることが分かりました。

定積分

$\displaystyle{F(x)}$を、$\displaystyle{f(x)}$の原始関数(微分する前の関数のこと)の一つとします。
そうすると、
$\displaystyle{\int{f(x)dx}=F(x)+C}$
となります。

さて、今回は定積分というものをお話します。
定積分は、以下のように細長い記号の右上と右下に数字(以下の例ではaとb)を書きます。
$\displaystyle{\int^a_b{f(x)dx}=F(a)-F(b)}$ これを関数$\displaystyle{f(x)}$$\displaystyle{b}$から$\displaystyle{a}$への積分と言います。
つまり、「定積分」とは、原始関数に代入して、引くのです。



例えば、$\displaystyle{x^2+a}$の2から−1への積分は、
$\displaystyle{\int^2_{-1}(x^2+1)dx=\Big[\frac13x^3+x\Big]^2_{-1}}$
$\displaystyle{\Big(\frac83+2\Big)-\Big(-\frac13-1\Big)}$
$\displaystyle{=6}$ というようになります。

ちなみに、今出てきた[]という括弧は、
$\displaystyle{\Big[f(x)\Big]^a_b=f(a)-f(b)}$
というような意味です。



以上のように、積分してから代入して引き算する、というのを定積分といいます。
それに比べて今までの積分(積分記号の右上と右下に何も書かなかったやつ)を、不定積分と言います。



「なぜ代入して引く・・・!?」ということは今は疑問に思うかもしれませんが、深く考えないでくださいw

ところで、定積分では積分定数$\displaystyle{C}$は消えてくれます。
例えば、$\displaystyle{f(x)}$を不定積分したら積分記号付きの$\displaystyle{F(x)+C}$になるとしたら、
$\displaystyle{\int^a_b{f(x)dx}=\Big(F(a)+C\Big)-\Big(F(b)+C\Big)=F(a)-F(b)}$ となります。
ほら、積分記号が消えたでしょ?

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