3乗根
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3乗根

方程式$\displaystyle{x^2=2}$の解はいくつ???

もし中学でしっかり勉強していれば、
解は
$\displaystyle{x=\pm\sqrt{2}}$
であることはすぐ分かると思います。
$\displaystyle{\sqrt{2}}$とは、
2乗したら2になる数です。



さて、次が本題ですが・・・
方程式$\displaystyle{x^3=2}$の解はいくつ???

あれれ!?3乗したら2になる数ってどうやってあらわすんだろぅ・・・?

3乗したら2になる数は
$\displaystyle{\sqrt[3]{2}}$
と表します。


さて、これは新しい書き方ですね。
ルートの左上に、小さく3を書くのです。


同じようにして、
3乗したら8になる数は、
$\displaystyle{\sqrt[3]8}$
と表され、また
3乗したら27になる数は
$\displaystyle{\sqrt[3]{27}}$
と表されます。

ところで、2を3乗すると8になり、
3を3乗したら27になることを考えると、
$\displaystyle{\sqrt[3]8=2}$
$\displaystyle{\sqrt[3]{27}=3}$
となります。


このように、3乗したら8になるような数のことを、
8の3乗根と言います。
同様に、3乗したら27になる数は「27の3乗根」と呼ばれます。

以上のことををふまえると、
8の3乗根は2で、
27の3乗根は3です。

ところで、
5の3乗根や2の3乗根はいくつになるでしょうか?
この場合、平方根と同じように、答えは無理数になりそうです。
3乗根の場合も平方根の時と同じように、答えが無理数になることが起こります。

だいたい、2の3乗根と5の3乗根は以下の数になります。
$\displaystyle{\sqrt[3]2=1.2599\cdots}$
$\displaystyle{\sqrt[3]5=1.7099\cdots}$


3乗根は立方根と呼ばれることもあります。

ところで、「立方」とは「3乗」という意味です。

2乗したら2になる数のことを「2の平方根」と言いますよね??
「平方」とは「2乗」という意味です。
(↑「平方」と「平方根」とは違うことに注意!!!)
だから、「平方根」も「2乗根」と呼ばれることが時々あります。

平方根と3乗根とは違うよ!!!

上にも書いたとおり、
$\displaystyle{x^2=2}$
の解は
$\displaystyle{x=\pm\sqrt{2}}$です。

じゃあ同じように、
$\displaystyle{\sqrt[3]2}$の解は、
$\displaystyle{x=\pm\sqrt[3]{2}}$????
いや・・・違うって(汗)

マイナスはつきません。答えはプラスだけです。
よって、解は、
$\displaystyle{x=\sqrt[3]{2}}$
になります。

なぜなら、
$\displaystyle{x=-\sqrt[3]{2}}$
のように、マイナスを考えますと、
マイナスの3乗はマイナスです。
この方程式は、3乗したら2になる数を求めたいわけなのに、
$\displaystyle{-\sqrt[3]{2}}$の3乗は、−2という、違った数になってしまいます。


違う例を出しますと、
$\displaystyle{x^3=27}$の解は、
$\displaystyle{x=\pm3}$ではなく、
$\displaystyle{x=3}$です。
xが−3だとすると、−3を3乗したら−27という数になってしまいます。
この方程式は3乗したら27になる数が解となります。

※注:今は実数解だけを考えてます。複素数、つまり虚数$\displaystyle{i}$を考慮に入れたら$\displaystyle{x^3=27}$の解が$\displaystyle{3}$以外にも現れてしまいます。
例えば以下の二つです。 しかし$\displaystyle{\sqrt[3]{27}}$とルート記号を使うときは、複素数解は考慮に入れないです。

別の平方根と3乗根の違い

平方根の場合、ルートの中身がマイナスの数、
例えば、
$\displaystyle{\sqrt{-1}}$
となるような数は存在しませんでした。
なぜなら、2乗したら必ずプラスの値になり、マイナスになることはないからです。

しかし、3乗したらマイナスになることがあります。

例えば、-1の3乗は-1です。

だから、
$\displaystyle{\sqrt[3]{-1}}$
のような数は存在します。

この場合、
$\displaystyle{\sqrt[3]{-1}=-1}$
です。

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