方程式$\displaystyle{x^2=2}$の解はいくつ？？？

もし中学でしっかり勉強していれば、
解は
$\displaystyle{x=\pm\sqrt{2}}$
であることはすぐ分かると思います。
$\displaystyle{\sqrt{2}}$とは、
２乗したら２になる数です。



さて、次が本題ですが・・・
方程式$\displaystyle{x^3=2}$の解はいくつ？？？

あれれ！？３乗したら２になる数ってどうやってあらわすんだろぅ・・・？

３乗したら２になる数は
$\displaystyle{\sqrt[3]{2}}$
と表します。


さて、これは新しい書き方ですね。
ルートの左上に、小さく３を書くのです。


同じようにして、
３乗したら８になる数は、
$\displaystyle{\sqrt[3]8}$
と表され、また
３乗したら２７になる数は
$\displaystyle{\sqrt[3]{27}}$
と表されます。

ところで、２を３乗すると８になり、
３を３乗したら２７になることを考えると、
$\displaystyle{\sqrt[3]8=2}$
$\displaystyle{\sqrt[3]{27}=3}$
となります。


このように、３乗したら８になるような数のことを、
８の３乗根と言います。
同様に、３乗したら２７になる数は「２７の３乗根」と呼ばれます。

以上のことををふまえると、
８の３乗根は２で、
２７の３乗根は３です。

ところで、
５の３乗根や２の３乗根はいくつになるでしょうか？
この場合、平方根と同じように、答えは無理数になりそうです。
３乗根の場合も平方根の時と同じように、答えが無理数になることが起こります。

だいたい、２の３乗根と５の３乗根は以下の数になります。
$\displaystyle{\sqrt[3]2=1.2599\cdots}$
$\displaystyle{\sqrt[3]5=1.7099\cdots}$


３乗根は立方根と呼ばれることもあります。

ところで、「立方」とは「３乗」という意味です。

２乗したら２になる数のことを「２の平方根」と言いますよね？？
「平方」とは「２乗」という意味です。
(↑「平方」と「平方根」とは違うことに注意！！！)
だから、「平方根」も「２乗根」と呼ばれることが時々あります。

上にも書いたとおり、
$\displaystyle{x^2=2}$
の解は
$\displaystyle{x=\pm\sqrt{2}}$です。

じゃあ同じように、
$\displaystyle{\sqrt[3]2}$の解は、
$\displaystyle{x=\pm\sqrt[3]{2}}$？？？？
いや・・・違うって(汗)

マイナスはつきません。答えはプラスだけです。
よって、解は、
$\displaystyle{x=\sqrt[3]{2}}$
になります。

なぜなら、
$\displaystyle{x=-\sqrt[3]{2}}$
のように、マイナスを考えますと、
マイナスの３乗はマイナスです。
この方程式は、３乗したら２になる数を求めたいわけなのに、
$\displaystyle{-\sqrt[3]{2}}$の３乗は、−２という、違った数になってしまいます。


違う例を出しますと、
$\displaystyle{x^3=27}$の解は、
$\displaystyle{x=\pm3}$ではなく、
$\displaystyle{x=3}$です。
xが−３だとすると、−３を３乗したら−２７という数になってしまいます。
この方程式は３乗したら２７になる数が解となります。

※注：今は実数解だけを考えてます。複素数、つまり虚数$\displaystyle{i}$を考慮に入れたら$\displaystyle{x^3=27}$の解が$\displaystyle{3}$以外にも現れてしまいます。
例えば以下の二つです。

• $\displaystyle{\frac{3}{2}(-1 + \sqrt{3}i)}$
• $\displaystyle{\frac{3}{2}(-1 - \sqrt{3}i)}$

しかし$\displaystyle{\sqrt[3]{27}}$とルート記号を使うときは、複素数解は考慮に入れないです。

平方根の場合、ルートの中身がマイナスの数、
例えば、
$\displaystyle{\sqrt{-1}}$
となるような数は存在しませんでした。
なぜなら、２乗したら必ずプラスの値になり、マイナスになることはないからです。

しかし、３乗したらマイナスになることがあります。

例えば、-1の３乗は-1です。

だから、
$\displaystyle{\sqrt[3]{-1}}$
のような数は存在します。

この場合、
$\displaystyle{\sqrt[3]{-1}=-1}$
です。