群の他にも
環と
体というものがあります。
環とは、
- 二つの二項演算子「+」と「×」を持っていること
- 「+」という演算子に関しては可換群であること
- 「×」という演算子に関しては半群であること
- a×(b+c)=a×b+a×c、(b+c)a=b×a+c×aのような分配法則が成り立つこと
体とは、
- 二つの二項演算子「+」と「×」を持っていること
- 「+」という演算子に関しては可換群であること
- 「×」という演算子に関しては、「+」の単位元を除いて可換群であること
- a×(b+c)=a×b+a×c、(b+c)a=b×a+c×aのような分配法則が成り立つこと
ということを言います。
また、「×」に関して可換でない体のことを
斜体といいます。
ただし、文献によっては、
ここでいう「斜体」のことを「体」といい、
ここでいう「体」のことを「可換体」ということもあるそうです。
環の例としては、整数やn次の正方行列全体の集合があるでしょう。
体の例は有理数・実数・複素数が挙げられます。
整数は「×」という演算子に関して逆元をもつものは、整数の中では「1」しかない(他は分数、つまり整数ではない)ので、環です。
また、有理数や実数、複素数は「+」の単位元である「0」を除いたもの全てに「×」に関する逆元が存在しますので、体になります。