さてさて、数学は厳密主義です。
「同型」も、しっかり定義しなければ話になりません。
ということで、今からしっかり「同型」の定義を述べます。
$\displaystyle{\psi}$が
群
$\displaystyle{G_1}$から
$\displaystyle{G_2}$への同型写像であるとは、以下の2つの条件をみたすことである。
- $\displaystyle{\forall{x,y}\in\mathbb{G}_1,\psi(x)\psi(y)=\psi(xy)}$
- $\displaystyle{\psi}$は全単写
$\displaystyle{\mathbb{G}_1,\mathbb{G}_2}$の間に同型写像が存在するとき、
$\displaystyle{\mathbb{G}_1,\mathbb{G}_2}$は同型であるという。
さて、定義を解説します。
ここでいう
$\displaystyle{\psi}$は、2つの群の対応を意味しています。
前節の例でいえば
$\displaystyle{\psi(0^\circ)=f_1 \quad \psi(120^\circ)=f_2 \quad \psi(240^\circ)=f_3}$
みたいな。
一つ目の条件
$\displaystyle{\psi(x)\psi(y)=\psi(xy)}$は、演算子の振る舞いが同じだよ、ということを表しています。
二つ目の条件
$\displaystyle{\psi}$が全単写とは、2つの群の位数(元の数)が同じだよ、ということを表しています。