いままでは、無限集合を対象に群を扱ってきました。
当然、群になれるのは無限集合だけではなく、有限集合も群になれます。
例えば、
$\displaystyle{\mathbb{A}=\{0,1,2,3\}}$
として、
この集合内で働く演算子
$\displaystyle{\dotplus}$を、
$\displaystyle{a{\dotplus}b=(a+b)\bmod4}$と定義します。
つまり
$\displaystyle{\dotplus}$は、a+bを４で割ったときの余り、というようにします。
ところで、上の「mod」というのは、余りを表す二項演算子です。
例えば７mod３＝１です。７を３で割ったら１が余ります。
このmodはこれからも出てくると思うので、これを機会に覚えておくといいでしょう！
だから、
$\displaystyle{\mathbb{A}}$は有限集合ですが、群になります。
もし群であることを確かめたかったら、
群表を作ってみるとよいでしょう。
群表とは、以下のように各元と二項演算子との関係を示したものです。
| $\displaystyle{\dotplus}$ |
|
$\displaystyle{0}$ |
$\displaystyle{1}$ |
$\displaystyle{2}$ |
$\displaystyle{3}$ |
|
| $\displaystyle{0}$ |
|
$\displaystyle{0}$ |
$\displaystyle{1}$ |
$\displaystyle{2}$ |
$\displaystyle{3}$ |
| $\displaystyle{1}$ |
|
$\displaystyle{1}$ |
$\displaystyle{2}$ |
$\displaystyle{3}$ |
$\displaystyle{0}$ |
| $\displaystyle{2}$ |
|
$\displaystyle{2}$ |
$\displaystyle{3}$ |
$\displaystyle{0}$ |
$\displaystyle{1}$ |
| $\displaystyle{3}$ |
|
$\displaystyle{3}$ |
$\displaystyle{0}$ |
$\displaystyle{1}$ |
$\displaystyle{2}$ |
このグラフでは、一見して結合法則が成り立っているかどうかは分かりませんが、
逆元の存在、可換かどうかは一目で分かりそうです。
例えば、この演算子の単位元は明らかに０です。
逆元が存在するかどうかは、各行（各列でもよい）に単位元が含まれていればいいです。
また、グラフが斜めのラインを軸として対称となっていたら、可換かどうかも分かります。