群の位数
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有限群

いままでは、無限集合を対象に群を扱ってきました。
当然、群になれるのは無限集合だけではなく、有限集合も群になれます。

例えば、
$\displaystyle{\mathbb{A}=\{0,1,2,3\}}$
として、
この集合内で働く演算子$\displaystyle{\dotplus}$を、
$\displaystyle{a{\dotplus}b=(a+b)\bmod4}$と定義します。
つまり$\displaystyle{\dotplus}$は、a+bを4で割ったときの余り、というようにします。

ところで、上の「mod」というのは、余りを表す二項演算子です。
例えば7mod3=1です。7を3で割ったら1が余ります。
このmodはこれからも出てくると思うので、これを機会に覚えておくといいでしょう!

だから、$\displaystyle{\mathbb{A}}$は有限集合ですが、群になります。
もし群であることを確かめたかったら、群表を作ってみるとよいでしょう。
群表とは、以下のように各元と二項演算子との関係を示したものです。
$\displaystyle{\dotplus}$ $\displaystyle{0}$ $\displaystyle{1}$ $\displaystyle{2}$ $\displaystyle{3}$
$\displaystyle{0}$ $\displaystyle{0}$ $\displaystyle{1}$ $\displaystyle{2}$ $\displaystyle{3}$
$\displaystyle{1}$ $\displaystyle{1}$ $\displaystyle{2}$ $\displaystyle{3}$ $\displaystyle{0}$
$\displaystyle{2}$ $\displaystyle{2}$ $\displaystyle{3}$ $\displaystyle{0}$ $\displaystyle{1}$
$\displaystyle{3}$ $\displaystyle{3}$ $\displaystyle{0}$ $\displaystyle{1}$ $\displaystyle{2}$
このグラフでは、一見して結合法則が成り立っているかどうかは分かりませんが、
逆元の存在、可換かどうかは一目で分かりそうです。
例えば、この演算子の単位元は明らかに0です。
逆元が存在するかどうかは、各行(各列でもよい)に単位元が含まれていればいいです。
また、グラフが斜めのラインを軸として対称となっていたら、可換かどうかも分かります。

群の位数

このように、群の元の数が有限の場合もあるということです。
そのような群を有限群と呼びます。
また、群の元が無限個あるものを無限群と言います。

ところで、「基数」という言葉は覚えていますか?
基数に関して詳しく知りたければ、ここに行って下さい。
基数とは、集合の元の数のことでした。

ところで、群の元の数のことを言うときは、「基数」とは言いません。
群の基数は位数と呼ばれます。
群の元の数のことを、位数と言います。

前節では有限群の例として、
$\displaystyle{\mathbb{A}=\{0,1,2,3\}}$
としました。
このとき、群$\displaystyle{\mathbb{A}}$の位数は4つです。

単位群

$\displaystyle{\{e\}}$
という、単位元のみからなる集合は、明らかに群です。
この群の位数は1ですよね?

このように、単位元しか持っていない群を単位群と言います。
・・・なんだかつまらない群ですね(--;)

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