数の集合じゃなくても、群になることができると、以前説明しました。
しかし、数以外に二項演算子を定義する・・・なぁんて言われても、
何だかあまりぱっとしませんねぇ〜。

そこで、群の例を用意しました。

例えば、以下のような三角形を考えましょう。

この三角形を、右に１２０度回転させる操作を、文字$\displaystyle{r}$で表すとします。
同様に、 この三角形を、左に１２０度回転させる操作を、文字$\displaystyle{l}$で表すとします。

つまり、こういうことです。

	$\displaystyle{r}$ →
	$\displaystyle{l}$ →

１２０度回転してるので、各頂点、Ａ，Ｂ，Ｃが入れ替わっているのが分かります。

今度は、以下の図のように、縦軸をａ軸、
右上がりの軸をｂ軸
右下がりの軸をｃとして、

ａ軸を中心として裏返す操作を$\displaystyle{a}$
ｂ軸を中心として裏返す操作を$\displaystyle{b}$
ｃ軸を中心として裏返す操作を$\displaystyle{c}$
とします。

操作$\displaystyle{a}$と$\displaystyle{b}$と$\displaystyle{c}$は、以下のようになります。

	$\displaystyle{a}$ →
	$\displaystyle{b}$ →
	$\displaystyle{c}$ →

また、三角形を回転させない、つまりなにも動かさない操作もかんがえましょう。
それを$\displaystyle{e}$としましょう。
この三角形に$\displaystyle{e}$を操作させても、何も変化がありません。
つまり、$\displaystyle{e}$とは、無意味な操作です。
「なぜこの操作を考えるの？」・・・それは後ほど説明いたします。。。


これで、この三角形に $\displaystyle{e,r,l,a,b,c}$と、６つの操作を定義しました。

この６つの、$\displaystyle{e,r,l,a,b,c}$に、演算子を定義します。

例えば、 $\displaystyle{ar}$を、三角形に「操作$\displaystyle{r}$をしてから、操作$\displaystyle{a}$をする」操作というように定義しましょう。

つまり、三角形に操作$\displaystyle{ar}$をしたら、

$\displaystyle{r}$ →

$\displaystyle{a}$ →

となります。

気をつけるべき点としては、文字$\displaystyle{a}$が先にきますが、
でも、操作$\displaystyle{a}$をするのは後です。
後ろの文字から操作する、とうように演算子を定義したことに気をつけてください。


ところで、この三角形に操作$\displaystyle{c}$をしても、

$\displaystyle{c}$ →

となってしまいます。
なんと操作$\displaystyle{ar}$と操作$\displaystyle{c}$とは、結果が一緒なのです。

だから、操作$\displaystyle{ar}$と操作$\displaystyle{c}$は、同じことをやっている、と見なすことはできないでしょうか？

こうして
$\displaystyle{ar=c}$
という等式が成り立ちます。

このように、各操作に対してこのような演算をすると、以下のような表になります。

		$\displaystyle{e}$	$\displaystyle{r}$	$\displaystyle{l}$	$\displaystyle{a}$	$\displaystyle{b}$	$\displaystyle{c}$
$\displaystyle{e}$		$\displaystyle{e}$	$\displaystyle{r}$	$\displaystyle{l}$	$\displaystyle{a}$	$\displaystyle{b}$	$\displaystyle{c}$
$\displaystyle{r}$		$\displaystyle{r}$	$\displaystyle{l}$	$\displaystyle{e}$	$\displaystyle{b}$	$\displaystyle{c}$	$\displaystyle{a}$
$\displaystyle{l}$		$\displaystyle{l}$	$\displaystyle{e}$	$\displaystyle{r}$	$\displaystyle{c}$	$\displaystyle{a}$	$\displaystyle{b}$
$\displaystyle{a}$		$\displaystyle{a}$	$\displaystyle{c}$	$\displaystyle{b}$	$\displaystyle{e}$	$\displaystyle{l}$	$\displaystyle{r}$
$\displaystyle{b}$		$\displaystyle{b}$	$\displaystyle{a}$	$\displaystyle{c}$	$\displaystyle{r}$	$\displaystyle{e}$	$\displaystyle{l}$
$\displaystyle{c}$		$\displaystyle{c}$	$\displaystyle{b}$	$\displaystyle{a}$	$\displaystyle{l}$	$\displaystyle{r}$	$\displaystyle{e}$

こうしてみると、これって何だか「群」になりそうですよね？


この６つの操作は、この演算子に閉じています。
結合律は・・・自分で確かめてみてください。きっと成り立ちます！！！
この演算子には、何も操作しない$\displaystyle{e}$という操作が存在します。
また、各操作にはそれぞれ逆元が存在していそうです。


これで、群の４つの性質が全てそろいました。
つまり、三角形を回転する「操作」自体にも、このように演算子を定義すれば、群になることができるのです。
しかし見て分かる通り、この群は可換ではないようです。

このように、群は何も数だけじゃないことが分かって頂けたでしょうか？
群の性質を満たすような演算子を定義することができたら、なんでも群になることができます。
また演算子も、従来の掛け算や足し算とは全然違ったものでも、それが群の性質を満たすようなものであれば、何でも群です。

以上の例は三角形の回転を群として扱いましたが、
化学の世界では、分子の回転などを群で扱うことがあるそうです。