半群
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結合法則

さてさて、二項演算子に関しては分かって頂けたでしょうか?
今度は、二項演算子の持つ性質について考えていきたいと思います。

$\displaystyle{\circ}$を、ある二項演算子とします。
もし、二項演算子$\displaystyle{\circ}$がある台集合$\displaystyle{\mathbb{A}}$の全ての元 $\displaystyle{a,b,c}$に対し、
$\displaystyle{a{\circ}(b{\circ}c)=(a{\circ}b){\circ}c}$
を満たしているとします。
この法則は、結合法則というのでした。恐らく聞いたことがあると思います。

つまり、ある二項演算子$\displaystyle{\circ}$が、その台集合$\displaystyle{\mathbb{A}}$に対して結合法則を満たしているとき、
$\displaystyle{\mathbb{A}}$$\displaystyle{\circ}$に関して半群であるといいます。
また、演算子が明らかなときや、省略したい時は、ただ単に「$\displaystyle{\mathbb{A}}$半群である」と言ったりします。

結合法則が成り立つもの、成り立たないものの例

例えば、足し算「+」や掛け算「×」は確かに結合法則が成り立ちます。
よって、実数(自然数や、整数、有理数でもよい)は+や×に関して半群です。

しかし、引き算「−」や割り算「÷」は結合法則は成り立ちません(自分で確かめてみよぅ!!)。
よって、実数は−に関して半群ではありません。

また、
$\displaystyle{a{\circ}b=a^b}$
や、
$\displaystyle{a{\circ}b=\sin(a+b)}$
のように定義された演算子$\displaystyle{\circ}$は、結合法則がなりたたないため、半群にはなりません。


ところで、二項演算子は数字だけでなくて、それ以外の対象にでも定義できます。
例えば、関数の集合があるとして、その集合で$\displaystyle{\circ}$という二項演算子を
$\displaystyle{f{\circ}g(x)=f(g(x))}$
のように定義しても大丈夫です(これは合成関数と呼ばれる)。
この関数に対する二項演算子には、結合法則が成り立つので(自分で確かめてね)、半群にとなります。

群になるためには!?

二項演算子が、結合法則を満たしているとき、その台集合のことを半群と呼ぶのでした。
しかし、「半群」とは名前の通り、まだ「群」ではありません。
「群」になるためには、まだまだ条件が必要です。

以下の条件を満たす半群が、群となることができます。
「単位元」って何?「逆元」って何?それは次回で。。。

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