任意の二項演算子に関して、単位元は高々一つしか持たないことを示せ
ある元が逆元を持つとき、それはただ一つであることを証明せよ
$\displaystyle{G}$の空でない部分集合$\displaystyle{H}$$\displaystyle{G}$の部分群であるための必要十分条件は、
$\displaystyle{a, b \in H \Rightarrow a^{-1}b \in H}$ であることを示せ
$\displaystyle{A,B}$がそれぞれ、同じ二項演算子$\displaystyle{\circ}$に関して群をなしているとき、
$\displaystyle{A \cap B}$$\displaystyle{\circ}$に関して群となっている
$\displaystyle{H}$$\displaystyle{G}$の部分群とする。
このとき、$\displaystyle{a,b \in G}$に対して、
$\displaystyle{ a \sim b \; \Leftrightarrow \; ab^{-1} \in H}$
と関係演算子〜を定義すると、これは同値関係になる
$\displaystyle{H}$$\displaystyle{G}$の正規部分群とする。
$\displaystyle{[x], [y], [z] \in G / H}$のとき、
$\displaystyle{[x] = [y] \Rightarrow [x][z] = [y][z]}$
となる。

ここで、
$\displaystyle{[x] = xH}$
とする。
戻る