さて「ベクトルは数を縦に並べたもの！！！」と今まで述べてきました。
まぁ数学をあまり深くやらない人は、このように考えても、あまり問題は起こらないかな・・・？



ところで、このホームページの「レベル７」を見て分かる通り、
数学は抽象化が大好きです！！！


ということもあり(？)、 これからは、なななんと「ベクトル」の概念が抽象化されます！！！


ともかく、これからはベクトルってのは
・数を縦に並べたものだな〜
・大きさと方向をもつもの！！
という考えを捨てて読んでください。



え？それってどういうこと(・・?
どういうことかというと・・・
「ある条件を満たすものは、何でもベクトルって呼んじゃえ！！！」
ということです。

今まで「矢印」と見てきたベクトルも、そのある条件を満たしているから、ベクトルと言えるのです。

じゃぁ、そのある条件とは一体何なんだ！！！
というのを、これから紹介します。
これからは、今まで扱ってきたベクトルを「矢印」ベクトルと呼ぶことにしましょう。




その前に・・・
ベクトルにはスカラーという相棒が必要です！！！
ベクトルを考えるには、スカラーというものを考えなければなりませんね。

スカラーなくしてはベクトルを語ることはできません！！！

ということで、定義にはいりましょう・・・

$\displaystyle{V}$が$\displaystyle{K}$上のベクトル空間とは、 以下の条件１〜５を満たすことです。
このとき$\displaystyle{V}$をベクトル空間、 $\displaystyle{K}$をスカラーと呼びます。

条件１：
$\displaystyle{V}$が加法$\displaystyle{+}$に関して可換な群(アーベル群)である


条件２：
$\displaystyle{K}$は体である


条件３：
$\displaystyle{K{\times}V{\rightarrow}V}$のような写像が定義されている。
つまり$\displaystyle{a{\in}K,v{\in}V}$ならば
$\displaystyle{av{\in}V}$である


条件４：
$\displaystyle{a,b{\in}K v,w{\in}V}$としたら

$\displaystyle{(ab)v=a(bv)}$

$\displaystyle{(a+b)v=av+bv}$

$\displaystyle{a(v+w)=av+aw}$

が成り立つ。
つまり$\displaystyle{K}$と$\displaystyle{V}$ との間に、結合律・分配律が成り立つ


条件５：
任意のベクトル$\displaystyle{v{\in}V}$に対して
$\displaystyle{1v=v}$
である。
ただし$\displaystyle{1}$とは、$\displaystyle{K}$の乗法の単位元である。

さて、いきなりこんな定義を出されても、すぐには理解しにくいとおもいます・・・正直。


だから、今までの「矢印」ベクトルを使って条件を確認していきましょう。


条件１：
可換群(アーベル群)とは、演算子＋が以下の条件を満たしていることでした。

• 交換律、つまりa+b=b+a
• 結合律、つまり(a+b)+c=a+(b+c)
• 単位元0の存在、つまりa+0=0+a=a
• 逆元-aの存在、つまりa+(-a)=(-a)+a=0

今まで扱ってきた「矢印」ベクトルでは、
単位元がゼロベクトル$\displaystyle{\overrightarrow{0}}$
ベクトル$\displaystyle{v}$の逆元を$\displaystyle{-v}$として、
以上の４つの条件を満たしていることが分かります。

$\displaystyle{u,v,w}$をベクトルとして、
$\displaystyle{u+v=v+u}$
$\displaystyle{(u+v)+w=u+(v+w)}$
$\displaystyle{u+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}+u}$
$\displaystyle{u+(-u)=(-u)+u=\overrightarrow{0}}$
となり、確かにベクトルの足し算＋に関してアーベル群をなしています。
(群とは、演算子を抽象化したものでした。詳しくは群のページで)



条件２：
スカラーが体の構造を持っていること・・・
ところで、スカラーは普通の「数」でしたよね？
実数は体の構造をもっていることから、それは「矢印」ベクトルではあたりまえのことです。



条件３：
スカラーとベクトルからベクトルへの関数・・・？
そう難しく考えないでください。

ベクトルにスカラーを一つあたえたら、違うベクトルに飛ぶ、と考えてください。

例えば
$\displaystyle{3v}$
というのは「矢印」ベクトルの意味では
「ベクトル$\displaystyle{v}$の長さを３倍にする」
という意味です。

これは、見方を変えたら
「ベクトル$\displaystyle{v}$にスカラー３を与えたら違うベクトルに移った」
と考えられないでしょうか？


このようにして、ベクトルとスカラーから、違うベクトルへの対応を考えることができます。


条件４．５は面倒くさいので省略しますが(←コラ！！！)
まぁ、満たしていることが分かると思います。

このように考えると、いろいろ「矢印」ベクトルではないベクトルが作れそうです。
だって、以上の５条件を満たせば、なんでもベクトルと読んでいいわけです！！！


例えば、２×２の行列：
$\displaystyle{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}$
は、スカラーを実数として、ベクトルになります。

$\displaystyle{\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}e & f \\ g & h\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{a+e}&{b+f}\\{c+g}&{d+h}\end{pmatrix}}$
のように、足し算もつくれますし、
$\displaystyle{r\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{ra}&{rb}\\{rc}&{rd}\end{pmatrix}}$
のようにスカラーのベクトルに対する作用を作れます。

このように２×２の行列全体からなる集合は、実数をスカラーとして、ベクトル空間になります。


しかし、何だか「行列をベクトル」と言うのは、何だか慣れないと違和感があるかもしれないですね？
スカラーのベクトルに対する作用も、「矢印」ベクトルの場合は「長さを○○倍する」という意味でしたが、
行列の場合、その作用の意味も違ってきます。
しかし、以上の条件を満たせば、こんなものでも何でも「ベクトル」と言ってしまうわけです。

他にも、多項式
$\displaystyle{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0}$
もベクトルになります。
$\displaystyle{(ax^2+bx+c)+(dx^2+ex+f)=(a+d)x^2+(b+e)x+(c+f)}$
$\displaystyle{r(ax^3+bx^2+cx+d)=rax^3+rbx^2+rcx+rd}$
のように、ベクトルに加法が定義され、スカラーの作用も定義できます。
あとは、他の条件も満たしていることは簡単に確認できます。


他にも、

• 線形微分方程式の解全体
• フーリエ変換可能な関数全体

なども、ベクトルになります。

ところで、多項式のベクトルでは、
$\displaystyle{\{1,x,x^2,x^3,\cdots\}}$
を基底としていることが分かります。

見れば分かるように、基底が無限個あるのです！！！


抽象ベクトル空間では、無限次元のベクトル空間を考えることがあります。
名前だけ聞くと・・・何だかすごいですね。

無限次元のベクトル空間では、
線形代数学の一般論が成り立たない・・・そんなことが時々あります。

この「無限次元ベクトル空間」を扱う分野のことを「関数解析」というのですが・・・

一般的に、ベクトルには以下の性質があります。

$\displaystyle{0v=\overrightarrow{0}}$
$\displaystyle{(-1)v=-v}$

ただし$\displaystyle{v}$はベクトル空間の元、
$\displaystyle{0}$はスカラーのゼロ元(加法＋に対する単位元)、
$\displaystyle{-1}$は乗法の単位元$\displaystyle{1}$の加法に対する逆元で、 $\displaystyle{1+(-1)=0}$をみたすスカラーの元のことです。


一見、以上の２つの式は、慣れない人でしたらとても当たり前に感じるかもしれませんが、
あながちそうでもありません。


$\displaystyle{0v}$の振舞いは、よく見ると ベクトルの条件１〜５の中に定義されていません。
(確かに$\displaystyle{1v}$は定義されていますけど)

また$\displaystyle{-1}$は単位元でもゼロ元でもない元です。
それなのに$\displaystyle{(-1)v=-v}$
つまりこの式は細かく言えば、$\displaystyle{-1}$を作用させることと
ベクトルの逆元を求めることは、同じことだと言っています。


実は、この２つの式は条件１〜５から示すことができます。
もしよければ、自分で証明してみてください。