この赤色の直線は、線形空間になります。
ちなみに、この直線は関数
$\displaystyle{y=x}$の、傾きが1の比例のグラフのつもりで描きました(・・;
この直線は無限の彼方まで伸びていると仮定しています。
もちろん、途中で途切れている直線(線分とか)は、線形空間になりませんね。
線形空間の定義として、
- $\displaystyle{0 \in V}$である。ここで$\displaystyle{0}$はゼロベクトルである
- $\displaystyle{v_1,v_2 \in V}$ならば$\displaystyle{v_1+v_2 \in V}$
- $\displaystyle{v \in V}$ならば、任意の実数$\displaystyle{c}$に対して$\displaystyle{cv \in V}$
でしたね。
この直線は、明らかに原点を通っていますので、条件1.は満たしております。
条件2.や3.も同様に満たしていますよね?
これは分かりますか?
これはx軸上に重なっている赤い直線ですね。
この直線を
$\displaystyle{L}$としますと、
$\displaystyle{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix} \in L}$
$\displaystyle{\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix} \in L}$
$\displaystyle{\begin{pmatrix}{-1}\\0\end{pmatrix} \in L}$
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となります。
この直線は、線形空間の条件を満たしているので(自分で確かめてみましょう)、これは線形空間です。