ベクトル$\displaystyle{\vec{x}}$の長さは
$\displaystyle{|\vec{x}|}$ と今までは表記してきました。

しかし、これも高校まで(？)です。
大学からは、２重線
$\displaystyle{\|\vec{x}\|}$ で、ベクトルの長さを表します。

またこれからは、「ベクトルの長さ」のことをノルムといいます。

覚えておいてくださいね(^o^)ノ


ノルムの定義の再確認です。
ベクトル$\displaystyle{\vec{x}}$のノルムは
$\displaystyle{\|\vec{x}\|=\sqrt{\vec{x}\cdot\vec{x}}}$
です！！！！

覚えていますか？

もうレベル６なんだから、
もうそろそろ内積の詳しい性質も見ていかないとね♪☆
$\displaystyle{a,b}$を実数として

• $\displaystyle{\vec{x}\cdot\vec{x}\ge0}$
• $\displaystyle{\vec{x}\cdot\vec{x}=0 \Leftrightarrow \vec{x}=0}$
• $\displaystyle{\vec{x}\cdot\vec{y}=\vec{y}\cdot\vec{x}}$
• $\displaystyle{(a\vec{x}+b\vec{y})\cdot\vec{z}=a\vec{x}\cdot\vec{z}+b\vec{y}\cdot\vec{z}}$

これらの性質が成り立ちます！
まぁこの４つは無理に覚える必要はありませんが、
これがレベル８になったら(特に関数解析の分野では)少し重要になります。
レベル６の段階では、あとで見返して 「あ…確かこんな性質もあったよなぁ 」 程度でいいです。

それでは、次にノルムの性質も書きます♪☆
$\displaystyle{a}$を実数として

• $\displaystyle{\|\vec{x}\|\ge0}$
• $\displaystyle{\|\vec{x}\|=0 \Leftrightarrow \vec{x}=0}$
• $\displaystyle{\|a\vec{x}\|=a\|\vec{x}\|}$
• $\displaystyle{\|\vec{x}+\vec{y}\|\le\|\vec{x}\|+\|\vec{y}\|}$

内積とノルムを使って、以下の不等式が成り立ちます。
$\displaystyle{\vec{x}\cdot\vec{y}\le\|\vec{x}\| \|\vec{y}\|}$
この不等式のことをシュワルツの不等式といいます。


この不等式が成り立つことは、少し考えてみたら分かるのではないでしょうか？

$\displaystyle{\vec{x}\cdot\vec{y}=\|\vec{x}\| \|\vec{y}\| \cos\theta}$
だったはずです(ただし$\displaystyle{\theta}$は２つのベクトルのなす角)。
$\displaystyle{-1\le\cos\theta\le1}$
なので、
$\displaystyle{\vec{x}\cdot\vec{y}=\|\vec{x}\| \|\vec{y}\| \cos\theta \le \|\vec{x}\| \|\vec{y}\|}$
となることより、シュワルツの不等式が成り立ちます。