内積とノルム
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ノルムの表し方

ベクトル$\displaystyle{\vec{x}}$の長さは
$\displaystyle{|\vec{x}|}$ と今までは表記してきました。

しかし、これも高校まで(?)です。
大学からは、2重線
$\displaystyle{\|\vec{x}\|}$ で、ベクトルの長さを表します。

またこれからは、「ベクトルの長さ」のことをノルムといいます。

覚えておいてくださいね(^o^)ノ


ノルムの定義の再確認です。
ベクトル$\displaystyle{\vec{x}}$のノルムは
$\displaystyle{\|\vec{x}\|=\sqrt{\vec{x}\cdot\vec{x}}}$
です!!!!

覚えていますか?

内積の性質

もうレベル6なんだから、
もうそろそろ内積の詳しい性質も見ていかないとね♪☆
$\displaystyle{a,b}$を実数として
これらの性質が成り立ちます!
まぁこの4つは無理に覚える必要はありませんが、
これがレベル8になったら(特に関数解析の分野では)少し重要になります。
レベル6の段階では、あとで見返して 「あ…確かこんな性質もあったよなぁ 」 程度でいいです。

ノルムの性質

それでは、次にノルムの性質も書きます♪☆
$\displaystyle{a}$を実数として

シュワルツの不等式

内積とノルムを使って、以下の不等式が成り立ちます。
$\displaystyle{\vec{x}\cdot\vec{y}\le\|\vec{x}\| \|\vec{y}\|}$
この不等式のことをシュワルツの不等式といいます。


この不等式が成り立つことは、少し考えてみたら分かるのではないでしょうか?

$\displaystyle{\vec{x}\cdot\vec{y}=\|\vec{x}\| \|\vec{y}\| \cos\theta}$
だったはずです(ただし$\displaystyle{\theta}$は2つのベクトルのなす角)。
$\displaystyle{-1\le\cos\theta\le1}$
なので、
$\displaystyle{\vec{x}\cdot\vec{y}=\|\vec{x}\| \|\vec{y}\| \cos\theta \le \|\vec{x}\| \|\vec{y}\|}$
となることより、シュワルツの不等式が成り立ちます。

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