一次独立
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一次独立はとっても大切な用語☆★☆

はいっ!゜☆。.:*
来ましたね!!!


今回は一次独立というものを解説します。
「一次独立」とは、線形代数学をやっていく上で、とても重要な用語です!!
是非とも、十分に理解しておいてくださいm(_ _)m

一次独立は線形独立と呼ばれることもあります。
また、一次独立でないとき、一次従属または線形従属と言います。

定義

今回は、いきなり定義から入っちゃいます☆


ベクトルの組$\displaystyle{v_1,v_2,\cdots,v_n}$に対し、
$\displaystyle{k_1v_1+k_2v_2+\cdots+k_nv_n=0}$
となるのは$\displaystyle{k_1=k_2=\cdots=k_n=0}$のときのみに限るとき、
ベクトルの組$\displaystyle{v_1,v_2,\cdots,v_n}$一次独立であるという。

例を挙げましょう↑

恐らく、定義だけでは『なんのこっちゃ??』て感じですよね・・・?

それでは“例”を挙げます。
果たして、どんなものが一次独立なのか、そうじゃないのか・・・・・・



例えば、以下の3つのベクトル
$\displaystyle{u_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} \quad u_2=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix} \quad u_3=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$ は一次独立です。



これに対し、
$\displaystyle{v_1=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} \quad v_2=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix} \quad v_3=\begin{pmatrix}0\\{-1}\\1\end{pmatrix}}$
これは一次独立ではありません。一次従属ですね。


また、
$\displaystyle{w_1=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} \quad w_2=\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}}$
も一次独立ではありません。

確かめるΦ(. .)の1

実際に、何故かを確かめてみましょう。
まず$\displaystyle{v_1,v_2,v_3}$、つまり
$\displaystyle{v_1=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} \quad v_2=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix} \quad v_3=\begin{pmatrix}0\\{-1}\\1\end{pmatrix}}$
は一次独立でないことを示します。
例えば$\displaystyle{k_1=1, k_2=-1, k_3=1}$とき、


$\displaystyle{k_1v_1+k_2v_2+k_3v_3=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\{-1}\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}$
となりますね。
だから一次独立ではありません!!!

え?まだ分からないって・・・?
う〜む、困ったなぁ(-ω-;)


それでは一度、一次独立の定義に振り返ります。
$\displaystyle{v_1,v_2,v_3}$が一次独立というのは、
$\displaystyle{k_1v_1+k_2v_2+k_3v_3=0}$のときは
絶っ〜〜対にk1もk2もk3も全部0の時だけだよっ!!

・・・でした。



上の例で$\displaystyle{k_1=k_2=k_3=0}$とすると確かに
$\displaystyle{k_1v_1+k_2v_2+k_3v_3=0}$
となります・・・
てぃぅか(;^_^これはどんなベクトルの組でもそうですね。


しかし$\displaystyle{v_1,v_2,v_3}$の場合だと、それだけじゃないのです!!
$\displaystyle{k_1=1,k_2=-1,k_3=1}$
という組み合わせのときも、
$\displaystyle{k_1v_1+k_2v_2+k_3v_3=0}$
となってしまうのです!!!




何度も言うようですが、
$\displaystyle{k_1v_1+k_2v_2+k_3v_3=0}$
となるようなk1とk2とk3の組み合わせが
$\displaystyle{k_1=k_2=k_3=0}$
のときのみ“一次独立”というのでした。
しかし、この例では$\displaystyle{k_1=1, k_2=-1, k_3=1}$ という組み合わせでも、
$\displaystyle{k_1v_1+k_2v_2+k_3v_3=0}$ となってしまいます。
他のk1とk2とk3の組み合わせが存在してしまうということです。
だから、一次独立ではないのです。

確かめるΦ(. .)の2

$\displaystyle{u_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} \quad u_2=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} \quad u_3=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$
はい、これは一次独立です!!
$\displaystyle{k_1u_1+k_2u_2+k_3u_3=0}$
となるような$\displaystyle{k_1,k_2,k_3}$の組み合わせは、
純粋に$\displaystyle{k_1=k_2=k_3=0}$のときしかないからです。

他に$\displaystyle{k_1u_1+k_2u_2+k_3u_3=0}$を満たすような$\displaystyle{k_1, k_2, k_3}$の組は存在しません。


この事実は実際に計算してみるとよいでしょう。
$\displaystyle{k_1u_1+k_2u_2+k_3u_3=k_1\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+k_2\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+k_3\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}k_1\\k_2\\k_3\end{pmatrix}}$
となります。
結果
$\displaystyle{\begin{pmatrix}k_1\\k_2\\k_3\end{pmatrix}=0}$
を満たすような$\displaystyle{k_1, k_2, k_3}$の組を求めればよいことになりますが、
そんなの$\displaystyle{k_1=k_2=k_3=0}$しかありえないですよね?

確かめるΦ(. .)の3

次は
$\displaystyle{w_1=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} \quad w_2=\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}}$
の例で行きます。

これも一次独立ではありません。


なぜなら
$\displaystyle{k_1w_1+k_2w_2=0}$
が成り立つ$\displaystyle{k_1,k_2}$の組み合わせは、
$\displaystyle{k_1=k_2=0}$
の他にも
$\displaystyle{k_1=2, k_2=-1}$
がありますから。

$\displaystyle{2w_1-w_2=0}$
になります。(↑実際に確かめてみましょう☆)

管理人からの例題☆ミ

さて、例題も必要です!!

以下のベクトルで、一次独立なものはどれでしょうか?
  1. $\displaystyle{\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}}$
  2. $\displaystyle{\begin{pmatrix}1\\{-1}\end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$
  3. $\displaystyle{\begin{pmatrix}1\\{-1}\end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix}{-1}\\1\end{pmatrix}}$
  4. $\displaystyle{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}}$
  5. $\displaystyle{\begin{pmatrix}4\\2\\6\end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix}{-1}\\3\\2\end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix}0\\7\\7\end{pmatrix}}$
解答:一次独立なのは2と4です。

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