行列によるベクトルの変換
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ベクトルの変換

さてさて、今回は
行列を使って、ベクトルを変換することをやりましょう☆


例えば、行列$\displaystyle{M}$とベクトル$\displaystyle{v}$
$\displaystyle{M=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$
$\displaystyle{v=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$
としましょうか?


実は“行列”というものはベクトルを変換するものと考えられます!!!

じゃぁ、行列$\displaystyle{M}$を使ってベクトル$\displaystyle{v}$がどのように変換するのかを、きちんとお見せしましょう☆゜
$\displaystyle{Mv=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$
ここで、前回話した通り、2次元のベクトル(列ベクトル)は2行1列の“行列”だと話しました。

よって$\displaystyle{Mv}$も、普通の行列の積として計算すればよいのです!!!

$\displaystyle{Mv=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ax+by\\cx+dy\end{pmatrix}}$


上の式は、ただベクトル$\displaystyle{v}$を“2行1列の行列”とみなして、計算しただけです。

はいっ!・・・以上のように、行列$\displaystyle{M}$により、ベクトル$\displaystyle{v}$
$\displaystyle{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$
から
$\displaystyle{\begin{pmatrix}ax+by\\cx+dy\end{pmatrix}}$
に変換されました!!!

他の例では

少し抽象的になりますが、じっくりお読みくださいm(_ _)m


例えば、行列の積によれば、
a行b列の行列と、b行c列の行列の積は
a行c列になるのでした!!


当然、
a行b列の行列と、b行1の行列の積は、
a行1列になります。



ここで、
b行1列の行列は、b次元のベクトル、
a行1列の行列は、a次元のベクトル、
と考えますと、
「a行b列の行列とb次元ベクトルの積は、a次元ベクトルになる!!!」
と考えられます!!!



・・・ということでa行b列の行列とは、
b次元ベクトルをa次元ベクトルに変換するものと考えられませんか?



$\displaystyle{M=\begin{pmatrix}1&3&2\\0&1&-1\end{pmatrix}}$
として
$\displaystyle{M\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&3&2\\0&1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}}$
です。

この場合$\displaystyle{M}$という行列は
$\displaystyle{\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}$ というベクトルを $\displaystyle{\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}}$ に変換したんですね。



だから、行列$\displaystyle{M}$は「3次元ベクトルを2次元ベクトルに変換するもの」と言えます。

内積

皆さんは“内積”というものを覚えているでしょうか?
詳しいことはコチラで。


例えば、ベクトル$\displaystyle{u,v}$
$\displaystyle{u=\begin{pmatrix}u_1\\u_2\\\vdots\\u_n\end{pmatrix}}$
$\displaystyle{v=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\\vdots\\v_n\end{pmatrix}}$
として、

ベクトル$\displaystyle{u}$$\displaystyle{v}$の内積は
$\displaystyle{u{\cdot}v=u_1v_1+u_2v_2+\cdots+u_nv_n}$
でした。大丈夫ですよね?



と考えると、ベクトルの内積を

$\displaystyle{u^Tv}$

と表現できる、とも考えられないでしょうか?
(分かっていると思いますが$\displaystyle{u^T}$$\displaystyle{u}$転置です。$\displaystyle{u}$が縦ベクトルなら$\displaystyle{u^T}$は横ベクトルになります)


$\displaystyle{u^Tv=\begin{pmatrix}u_1&u_2&\cdots&u_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\\vdots\\v_n\end{pmatrix}}$
$\displaystyle{=u_1v_1+u_2v_2+\cdots+u_nv_n}$


ということで、確かにベクトル$\displaystyle{u,v}$の内積は

$\displaystyle{u^Tv}$

となりますね。

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