ベクトルの変換
さてさて、今回は
行列を使って、ベクトルを変換することをやりましょう☆
例えば、行列$\displaystyle{M}$とベクトル$\displaystyle{v}$を
$\displaystyle{M=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$
$\displaystyle{v=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$
としましょうか?
実は“行列”というものはベクトルを変換するものと考えられます!!!
じゃぁ、行列$\displaystyle{M}$を使ってベクトル$\displaystyle{v}$がどのように変換するのかを、きちんとお見せしましょう☆゜
$\displaystyle{Mv=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$
ここで、前回話した通り、2次元のベクトル(列ベクトル)は2行1列の“行列”だと話しました。
よって$\displaystyle{Mv}$も、普通の行列の積として計算すればよいのです!!!
$\displaystyle{Mv=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ax+by\\cx+dy\end{pmatrix}}$
上の式は、ただベクトル$\displaystyle{v}$を“2行1列の行列”とみなして、計算しただけです。
はいっ!・・・以上のように、行列$\displaystyle{M}$により、ベクトル$\displaystyle{v}$は
$\displaystyle{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$
から
$\displaystyle{\begin{pmatrix}ax+by\\cx+dy\end{pmatrix}}$
に変換されました!!!
他の例では
少し抽象的になりますが、じっくりお読みくださいm(_ _)m
例えば、行列の積によれば、
a行b列の行列と、b行c列の行列の積は
a行c列になるのでした!!
当然、
a行b列の行列と、b行1の行列の積は、
a行1列になります。
ここで、
b行1列の行列は、b次元のベクトル、
a行1列の行列は、a次元のベクトル、
と考えますと、
「a行b列の行列とb次元ベクトルの積は、a次元ベクトルになる!!!」
と考えられます!!!
・・・ということでa行b列の行列とは、
b次元ベクトルをa次元ベクトルに変換するものと考えられませんか?
$\displaystyle{M=\begin{pmatrix}1&3&2\\0&1&-1\end{pmatrix}}$
として
$\displaystyle{M\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&3&2\\0&1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}}$
です。
この場合$\displaystyle{M}$という行列は
$\displaystyle{\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}$
というベクトルを
$\displaystyle{\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}}$
に変換したんですね。
だから、行列$\displaystyle{M}$は「3次元ベクトルを2次元ベクトルに変換するもの」と言えます。