転置
転置とは
はいっ！！転置です！！！
前回は高校で習った内容です。
「もう既にやったことあるじゃん！！！」
って退屈に思わなかったですか？
恐らく“転置”という概念は高校では出なかったことだと思いますので、
きっと新鮮味があふれるでしょうねっ(と言っても、簡単な概念だけど・・・)
転置行列とは、行列の行と列の成分を入れ替えた行列のことです。
例えば
$\displaystyle{\begin{pmatrix}
3 & 2 & \sqrt{2} \\
1 & 4 & 6 \\
0 & -1 & -5
\end{pmatrix}}$
の転置行列は
$\displaystyle{\begin{pmatrix}
3 & 1 & 0 \\
2 & 4 & -1 \\
\sqrt{2} & 6 & -5
\end{pmatrix}}$
となります。
また、
$\displaystyle{\begin{pmatrix}
3 & 2 & -6 \\
1 & 5 & 0
\end{pmatrix}}$
の転置行列は
$\displaystyle{\begin{pmatrix}
3 & 1 \\
2 & 5 \\
-6 & 0
\end{pmatrix}}$
となります。
転置行列の記法
転置は分かりましたか？
もし理解できたのなら、ＯＫです！！
例えば$\displaystyle{A}$を行列としたとき、
$\displaystyle{A}$の転置行列は
$\displaystyle{{}^{t}A}$
あるいは
$\displaystyle{A^{T}}$
と表されます。
例えば、
$\displaystyle{{\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
4 & 6
\end{pmatrix}}^T
=
\begin{pmatrix}
1 & 4 \\
2 & 6
\end{pmatrix}
}$
ですし、
$\displaystyle{{\begin{pmatrix}2\\4\\5\end{pmatrix}}^T=\begin{pmatrix}2&4&5\end{pmatrix}}$
です。
転置記号を含んだ式の計算
さてさて、次に転置に関する公式(？)を紹介したいと思いますm(_ _)m
$\displaystyle{(A+B)^T=A^T+B^T}$
$\displaystyle{(AB)^T=B^T A^T}$
$\displaystyle{(A^{-1})^T=(A^T)^{-1}}$
一番目の公式は、転置の操作は和に関して分配できることを表しています。
二番目の公式は、転置の操作の積の関係を表しています。
気をつけることは、積の場合、転置した後は(AB)T=BTATのように、順序が入れ替わる、ということでしょうか？
三番目の公式は、逆行列と転置の操作が互いに可換であることを表しています。
転置してから逆行列を求めても、逆行列から転置しても、同じ結果だということです。
この３つの公式も、例を挙げて説明しましょうかね。
$\displaystyle{
\biggr\{
\begin{pmatrix}
2 & 4 \\
1 & 5
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
3 & 4 \\
2 & 5
\end{pmatrix}
\biggl\}^T
=
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
4 & 5
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
3 & 2 \\
4 & 5
\end{pmatrix}
}$
$\displaystyle{
\biggr\{
\begin{pmatrix}
3 & 4 \\
1 & 2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2 & 3 \\
4 & 6
\end{pmatrix}
\biggl\}^T
=
\begin{pmatrix}
2 & 4 \\
3 & 6
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
3 & 1 \\
4 & 2
\end{pmatrix}
}$
$\displaystyle{
\biggr\{
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
-1 & 3
\end{pmatrix}^{-1}
\biggl\}^T
=
\begin{pmatrix}
2 & -1 \\
1 & 3
\end{pmatrix}^{-1}
}$
この３つの式は、それぞれ上の公式に当てはめただけです。
この式の両辺を比較してみると、確かに等しいことが分かりますね。
気をつけることといえば、二番目の公式でしょうか？