転置
Follow @suridaisuki

転置とは

はいっ!!転置です!!!


前回は高校で習った内容です。
「もう既にやったことあるじゃん!!!」
って退屈に思わなかったですか?



恐らく“転置”という概念は高校では出なかったことだと思いますので、
きっと新鮮味があふれるでしょうねっ(と言っても、簡単な概念だけど・・・)





転置行列とは、行列の行と列の成分を入れ替えた行列のことです。


例えば
$\displaystyle{\begin{pmatrix} 3 & 2 & \sqrt{2} \\ 1 & 4 & 6 \\ 0 & -1 & -5 \end{pmatrix}}$
の転置行列は
$\displaystyle{\begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 2 & 4 & -1 \\ \sqrt{2} & 6 & -5 \end{pmatrix}}$
となります。



また、
$\displaystyle{\begin{pmatrix} 3 & 2 & -6 \\ 1 & 5 & 0 \end{pmatrix}}$
の転置行列は
$\displaystyle{\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 5 \\ -6 & 0 \end{pmatrix}}$
となります。

転置行列の記法

転置は分かりましたか?
もし理解できたのなら、OKです!!


例えば$\displaystyle{A}$を行列としたとき、
$\displaystyle{A}$の転置行列は
$\displaystyle{{}^{t}A}$
あるいは
$\displaystyle{A^{T}}$
と表されます。



例えば、
$\displaystyle{{\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 6 \end{pmatrix}}^T = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 6 \end{pmatrix} }$
ですし、
$\displaystyle{{\begin{pmatrix}2\\4\\5\end{pmatrix}}^T=\begin{pmatrix}2&4&5\end{pmatrix}}$
です。

転置記号を含んだ式の計算

さてさて、次に転置に関する公式(?)を紹介したいと思いますm(_ _)m


$\displaystyle{(A+B)^T=A^T+B^T}$
$\displaystyle{(AB)^T=B^T A^T}$
$\displaystyle{(A^{-1})^T=(A^T)^{-1}}$



一番目の公式は、転置の操作は和に関して分配できることを表しています。

二番目の公式は、転置の操作の積の関係を表しています。
気をつけることは、積の場合、転置した後は(AB)T=BTATのように、順序が入れ替わる、ということでしょうか?

三番目の公式は、逆行列と転置の操作が互いに可換であることを表しています。
転置してから逆行列を求めても、逆行列から転置しても、同じ結果だということです。



この3つの公式も、例を挙げて説明しましょうかね。


$\displaystyle{ \biggr\{ \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} \biggl\}^T = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} }$
$\displaystyle{ \biggr\{ \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 6 \end{pmatrix} \biggl\}^T = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} }$
$\displaystyle{ \biggr\{ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}^{-1} \biggl\}^T = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}^{-1} }$

この3つの式は、それぞれ上の公式に当てはめただけです。
この式の両辺を比較してみると、確かに等しいことが分かりますね。




気をつけることといえば、二番目の公式でしょうか?


戻る