写像とは
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写像とは?

以下に$\displaystyle{f,g,h}$の3つの“関数”を並べます。


$\displaystyle{f(x)=3x^2}$
$\displaystyle{g(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix})=\begin{pmatrix}x\\z\end{pmatrix}}$
$\displaystyle{h(x)=\begin{pmatrix}1\\x\end{pmatrix}}$


あらあら、何やら見慣れないものがありますが・・・
まず、一番分かりやすいのは$\displaystyle{f(x)=3x^2}$ではないでしょうか?


例えば、この例でいいますと、
$\displaystyle{f(0)=0}$
$\displaystyle{f(2)=12}$
$\displaystyle{f(-1)=3}$



ですね?

何やら当たり前のことを言っているかもしれませんが・・・(-.-)
関数$\displaystyle{f}$に2を与えたら$\displaystyle{f(2)=12}$ということで、12が出力されましたね?
同様にして$\displaystyle{f}$に−1を入力したら3という数が出力されました。
・・・
・・・


こうしてみると、関数とは値を変換してくれる不思議な箱とみなすことができませんか???

関数$\displaystyle{f}$に値“−1”を食べさせると、出力値として値“3”が吐き出される・・・という寸法ですf(^ ^;




高校までは「関数」という言葉を聞いたら「関数のグラフ・・・?」を連想するかもしれませんが、
これからは「関数」とは
「値を変換してくれるもの」or「ある値を入力として与えたら、別の値が出力されるもの」
という、いわば“値変換機”という役割があるもの、というように考えて下さいm(_ _)m

別の例で

今は“値変換機”というものを紹介しましたが、
何も値変換機としての役割は「数から数へ」のものだけではありません。


$\displaystyle{g(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix})=\begin{pmatrix}x\\z\end{pmatrix}}$

という関数$\displaystyle{g}$のような、
3次元ベクトルから2次元ベクトルに変換する、というものも一応アリですm(^^)b


例えば
$\displaystyle{g(\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix})=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}$
となります。
このときも、関数$\displaystyle{g}$というものが、
$\displaystyle{\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}$という3次元ベクトルを $\displaystyle{\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}$という2次元ベクトルに変換してくれたんですね。




また
$\displaystyle{h(x)=\begin{pmatrix}1\\x\end{pmatrix}}$
という関数$\displaystyle{h}$も、一つの数から2次元ベクトルに変換するものですね。

関数と写像

こういう、
「値変換機」としての役割を持つものを写像と言います。



実は“関数”と“写像”は、ほぼ同じ意味なようです。
私が数学をやってきた中では、両者の違いはあまりないように感じます。

ただ「実数から実数に写すもの」を、“関数”と言って、それ以外は“写像”だ、という人もいます。
例えば、この線形代数学の分野では、ベクトルからベクトルに写すものには関数”という言葉はあまり使われません。
ベクトルからベクトルに写すものは“写像”とよく言われます。

写像と関数の区別は、数学の諸分野においても少々違いが見られますが、
理論的には2つのものは、ほぼ同じものだと私自身、感じます。

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