行列とは
行列
今回のトピックは、なんと行列です！！！！
“行列”というものを、今回は紹介していきたいと思います(^o^ノ
しかし・・・
行列，行列，行列，ぎょぉれつ……
まぁ、きっとこの線形代数学のページを見ている人には、
“行列”なんて、もうとっくに知っていますよね〜〜(ーvー)
行列とは、高校数学(数Ｃ)の内容です。
きっと、このページを見ている人は、もう高校数学を既にマスターしている人が多いと思うので、
今回は、軽〜〜ぃ紹介でご了承くださいm(_ _)m
・・・と思ったんだけど、2012年から高校で行列をやらなくなったんだよなぁ・・・だからもっと詳しく説明する必要が・・・あるかな？？？
行列の和と積
例えばｍ行ｎ列の行列の和、つまり行列の「足し算」は
$\displaystyle{
\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ &&& \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ &&& \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ &&& \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ &&& \\ b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn}\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \cdots & a_{1n} + b_{1n} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \cdots & a_{2n} + b_{2n} \\ &&& \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ &&& \\ a_{m1} + b_{m1} & a_{m2} + b_{m2} & \cdots & a_{mn} + b_{mn}\end{pmatrix}
}$
となります。
またｍ行ｋ列の行列とｋ列ｎ行の行列の積、つまり行列の「掛け算」は
$\displaystyle{
\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1k} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2k} \\ &&& \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ &&& \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ &&& \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ &&& \\ b_{k1} & b_{k2} & \cdots & b_{kn}\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\displaystyle\sum_{i=1}^k a_{1i}b_{i1} & \displaystyle\sum_{i=1}^k a_{1i}b_{i2} & \cdots & \displaystyle\sum_{i=1}^k a_{1i}b_{in} \\
\displaystyle\sum_{i=1}^k a_{2i}b_{i1} & \displaystyle\sum_{i=1}^k a_{2i}b_{i2} & \cdots & \displaystyle\sum_{i=1}^k a_{2i}b_{in} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
\displaystyle\sum_{i=1}^k a_{mi}b_{i1} & \displaystyle\sum_{i=1}^k a_{2i}b_{im} & \cdots & \displaystyle\sum_{i=1}^k a_{mi}b_{in} \\
\end{pmatrix}
}$
とｍ行ｎ列の行列になります。
（ふぅ〜〜εー(-o-ヤヤコシィ・・・）
いろいろな法則
$\displaystyle{A, B, C}$を行列としたとき、
$\displaystyle{A+B=B+A}$
$\displaystyle{A+(B+C)=(A+B)+C}$
と、和に関する交換法則・結合法則は成り立っています。
また
$\displaystyle{A(B+C)=AB+AC, (A+B)C=AC+BC}$
$\displaystyle{A(BC)=(AB)C}$
と、分配法則と、積に関する結合法則が成り立っています。
ただ気をつけるべきこととして、
行列の積では交換法則が成り立つとは限りません！！！
例えば
$\displaystyle{A=\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \quad B=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 1 & 1\end{pmatrix}}$
として、
$\displaystyle{AB=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}$
$\displaystyle{BA=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}}$
はいっ！！
一般的に$\displaystyle{AB=BA}$が成り立つとは限らないのです！！
これ、重要。
注意！！
中には
$\displaystyle{A=\begin{pmatrix}2&1\\0&1\end{pmatrix} \quad B=\begin{pmatrix}1&-1\\0&2\end{pmatrix}}$
のように、
たまたま、偶然にも$\displaystyle{AB=BA}$の成り立つものもあります。
しかしこれは、ごくごく特別な場合です。
むしろ、行列の積として
$\displaystyle{AB \neq BA}$
となる方が、多いです。
行列の積では交換法則は一般的に成り立たないと考えてください。
単位行列
単位行列とは、対角成分だけ１で、それ以外の成分は０になっている行列のことです。
$\displaystyle{\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}}$
みたいな行列のことです。
当然、単位行列は正方行列でなければいけません！！
ところで、“正方行列”は分かりますよね？行の数と列の数が同じ行列のことです(^o^)v
$\displaystyle{E}$をｎ行ｎ列の単位行列とし、
$\displaystyle{A}$を任意のｎ行ｎ列の正方行列とすると、
$\displaystyle{AE=EA=A}$
が成り立ちます。
これ、重要。。
逆行列
$\displaystyle{A}$を正方行列、$\displaystyle{E}$を単位行列としたとき、
$\displaystyle{AB=BA=E}$
となるような行列$\displaystyle{B}$のことを、
$\displaystyle{A}$の逆行列といいます。
つまり、積という演算をさせたら、単位行列になる行列のことですねっ(^o^ノ
$\displaystyle{A}$の逆行列は$\displaystyle{A^{-1}}$と表されます。
例えば、
$\displaystyle{A=\begin{pmatrix}1&{-1}\\1&1\end{pmatrix}}$
としたとき、
$\displaystyle{A}$の逆行列は
$\displaystyle{A^{-1}=\begin{pmatrix}1/2 & 1/2 \\ -1/2 & 1/2\end{pmatrix}}$
となります。
実際、
$\displaystyle{
AA^{-1}=
\begin{pmatrix}
1 & -1 \\
1 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1/2 & 1/2 \\
-1/2 & 1/2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix}
}$
$\displaystyle{
A^{-1}A=
\begin{pmatrix}
1/2 & 1/2 \\
-1/2 & 1/2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & -1 \\
1 & 1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix}
}$
となります。
正則行列
しかし、どんな行列も“逆行列”を持つとは限りません。
世の中には、逆行列を持つ行列・持たない行列が存在するのです！！！
例えば
$\displaystyle{A=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}}$
としたとき、
行列$\displaystyle{A}$には逆行列がありません。
つまり
$\displaystyle{AB=BA=E}$
となるような行列$\displaystyle{B}$が存在しないのです！！！
逆行列を持つ行列のことを正則行列と言います。
すなわち行列$\displaystyle{A}$は正則行列でないのです！！！
これ、重要。。。