関係演算子とは?
「二項演算子」という言葉は、聞いたことがあるかと思います。
ご存知の通り、$\displaystyle{+-\times\div}$のことです。
それでは、「関係演算子」とは一体何なんでしょうか?
関係演算子の例としては、
$\displaystyle{=\neq\leqq\geqq{\lt}{\gt}}$
などが挙げられます。
関係演算子は二項演算子とは違ます。
二項演算子は「二つの元(分かりやすい例では数字)から、新しい元を作り出すもの」
という写像みたいなものですが、
関係演算子とは二つの元の関係を示す時に用いるものです。
例えば、
$\displaystyle{2{\leqq}3}$
は、「2より3の方が大きいよ〜」というような、二つの関係を表しているわけです。
このように、二つの元の関係を示す記号のことを、関係演算子といいます。
気づいたと思いますが、二項演算子が実際に使われているのは数字だけではありません。
部分集合などの記号$\displaystyle{\subset}$、も関係演算子です。
それ以外の例でも、例えば三角形の集合があるとして
三角形の合同を表す$\displaystyle{\equiv}$も一応関係演算子ですし、
三角形の相似を表す$\displaystyle{\propto}$も関係演算子です。
また集合の元がひらがなや国名でも何でもよかったように(集合論でやりました)、
ひらがなや国名に関係を定義しても大丈夫です!!!
関係演算子の定義
関係演算子とは、二つの元の間の関係を示すものでした。
また、関係演算子は、どのように定義しても大丈夫です!
例えば、「〜」という関係演算子があるとして、
これを
$\displaystyle{a{\sim}b\Rightarrow}$$\displaystyle{a}$と$\displaystyle{b}$は、3で割ったときの余りが等しい
というように定義しても大丈夫です。
この場合、
$\displaystyle{2\sim5}$
$\displaystyle{3\sim6}$
$\displaystyle{7\sim1}$
という式が成り立つと思います。
なぜなら、
一番上の例では、2と5は3で割ると余りが二とも2になります。
二番目、三番目の例でも同じです。
また、「〜」を、
$\displaystyle{a{\sim}b\Rightarrow\frac{a}{b}=1}$
のように定義してもかまいません。
この場合、
$\displaystyle{2\sim2}$
$\displaystyle{3\sim3}$
$\displaystyle{4\sim4}$
と、aとbが同じ数だったら成り立ちそうです。
しかし、a=b=0だった場合、つまり
$\displaystyle{0\sim0}$
は成り立ちません。
なぜなら、$\displaystyle{\frac{0}{0}}$のように、分母が0のものは許されないからです。
つまり、この関係は0を除いた「=」と考えられそうですね!
このように、関係演算子はどのように定義しても大丈夫なのです。