同値類
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同値類

前回は、「同値関係」というのをやりましたネ?
(あれ、何それ?)って人は前回に戻ってもう一度確認しましょう。

〜という同値関係を、

$\displaystyle{a{\sim}b{\Rightarrow}aとbは3で割ったときの余りが等しい}$

と、定義しましょう。
この関係演算子には、
$\displaystyle{1\sim4}$
や、
$\displaystyle{5\sim8}$
などが成立します。

それでは、自然数の集合$\displaystyle{\mathbb{N}}$を考えましょう。
この集合の中で、
$\displaystyle{1\sim4}$となるような$\displaystyle{x}$には、何があるでしょうか?
例えば、
$\displaystyle{\{1,4,7,10,\cdots\}}$
が考えられます。
なぜなら、これらの数は、みんな3で割った余りが1となりますので、〜に関して同値関係となります。

このように、1と同値関係が成り立つ元を全て集めた集合のことを、1の〜に関する同値類と言います。
または、1の同値類とも言います。

1の同値類は、
$\displaystyle{[1]}$
または、 $\displaystyle{\bar{1}}$
というように表されます。

aの〜に関する同値類を数学的な定義で表すと、
$\displaystyle{[a]=\{x|a{\sim}x\}}$
ということになります。

同じように、2と3の同値類は、
$\displaystyle{[2]=\{2,5,8,11,\cdots\}}$
$\displaystyle{[3]=\{3,6,9,12,\cdots\}}$
となります。


ところで、今回の場合は自然数の集合$\displaystyle{\mathbb{N}}$ を考えました。このように適当な集合を考えなければ、同値類は決めることができません。

もし、その適当な集合を
$\displaystyle{\{x|0{\leqq}x{\leqq}10\}}$
というようにしたならば、
同値類はそれぞれ
$\displaystyle{[1]=\{1,4,7\}}$
$\displaystyle{[2]=\{2,5,8\}}$
$\displaystyle{[3]=\{3,6,9\}}$
となります。


まぁ同値類とは「同じ仲間を全て集めた」集合なのですね。

同値類の別の例

別の同値関係での同値類も考えてみましょう。
自然数の直積、つまり
$\displaystyle{\mathbb{N}\times\mathbb{N}=\{(a,b)|a,b\in\mathbb{N}\}}$
があるとして、その集合の中で定義されたある二項関係子を、例えば$\displaystyle{\equiv}$として、
$\displaystyle{(a,b)\equiv(c,d){\Rightarrow}ad=bc}$
と定義するとしましょう。
そうすると、

$\displaystyle{(1,2)\equiv(2,4)}$
や、
$\displaystyle{(3,5)\equiv(9,15)}$
のように、様々な同値類の組が見つかると思います。

この同値類は、別の方向から見れば、
$\displaystyle{(a,b)\Rightarrow\frac{a}{b}}$
と、とらえることもできます。 つまり、これを分数の形にしてとらえたときの値が等しいものが$\displaystyle{\equiv}$だ、
と考えられます。

なぜなら、
$\displaystyle{\frac12=\frac24}$
ですし、
$\displaystyle{\frac35=\frac9{15}}$
だからです。


それでは、この同値類を求めましょう。
例えば、$\displaystyle{(1,2)}$の同値類は、
$\displaystyle{[(1,2)]=\{(1,2),(2,4),(3,6),(4,8),\cdots\}}$となります。

基本的に、
$\displaystyle{[(a,b)]=\{(a,b),(2a,2b),(3a,3b),(4a,4b)\cdots\}}$
となりそうです。

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