最大元と最小元
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最大値・最小値

最大値とは、一番大きな値のことです。
また、
最小値とは、一番小さな値のことです。


例えば、集合$\displaystyle{\mathbb{A}}$を、
$\displaystyle{\{1,2,3\}}$と定義するとき、
この集合$\displaystyle{\mathbb{A}}$の最大値は3になります。
また、この集合の最小値は1になります。
まぁ当たり前ですよね...。


また、集合$\displaystyle{\mathbb{A}}$の最大値は、$\displaystyle{\max{\mathbb{A}}}$と表され、
逆に、集合$\displaystyle{\mathbb{A}}$の最小値は、$\displaystyle{\min{\mathbb{A}}}$と表されます。

この例の場合、
$\displaystyle{\max{\mathbb{A}}=3}$
$\displaystyle{\min{\mathbb{A}}=1}$
となります。

最大元と最小元

今度はこの「最大値」・「最小値」の概念を、
順序関係にも拡張しましょう。

順序関係とは、一種の順番を与える関係なので、
一応、最大値や最小値となるものが存在します。

一般的に、通常の数字の大小関係に限らず、
順序関係における最大値は、普通最大元と呼ばれ、
最小値は最小元と呼ばれます。


さて、以下に例を挙げましょう。

前回定義した
2次元のベクトル間に対して、「≦」という順序関係を
$\displaystyle{\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}{\leqq}\begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix}{\Leftrightarrow}a_1{\leqq}b_1かつa_2{\leqq}b_2}$
としたものを用います。


こうしたとき、例えばこのベクトルの集合
$\displaystyle{\{\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix},\begin{pmatrix}7\\5\end{pmatrix},\begin{pmatrix}4\\4\end{pmatrix},\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\}}$
の中で、
最大元は$\displaystyle{\begin{pmatrix}7\\5\end{pmatrix}}$となり、
最小元は$\displaystyle{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}$となり、



また、集合における包含関係$\displaystyle{\subset}$を順序関係とする場合、
$\displaystyle{\{\{b,c\},\{a,b,c,d,e\},\{a,b,c\}\}}$
の中で、順序関係$\displaystyle{\subset}$における最大元は、
$\displaystyle{\{a,b,c,d,e\}}$
となり、最小元は
$\displaystyle{\{b,c\}}$
となります。


当然、順序関係における最大元や最小元を表す場合も、
記号$\displaystyle{\max}$$\displaystyle{\min}$を使います。

例えば、この包含関係の例を順序関係として最大元・最小元を表す場合、
$\displaystyle{\max\{\{b,c\},\{a,b,c,d,e\},\{a,b,c\}\}=\{a,b,c,d,e\}}$
$\displaystyle{\min\{\{b,c\},\{a,b,c,d,e\},\{a,b,c\}\}=\{b,c\}}$
となります。

最大元・最小元の明確な定義

「一番大きな元を、最大元という!!!」では、数学にしては少し適当だと思うので、
いかに最大元の明確な定義を与えましょう。



順序関係$\displaystyle{\leqq}$において、$\displaystyle{\mathbb{A}}$の元$\displaystyle{m}$$\displaystyle{\mathbb{A}}$で最大元であるとは、

$\displaystyle{\forall{a\in\mathbb{A}},a{\leqq}m}$
であることである。



まだまだ、この記法が分かりにくい方はいますか?
このような記法を理解するには、「慣れ」が必要なので、がんばりましょう。


つまり、「任意のAの元aを選んでも、絶対にa≦mとなるとき、mは最大元だよ〜」ということです。
mが一番大きいはずなので、他のどのような元を選んでもmより大きくなるはずはありません。
絶対aの方が小さいはずです。
つまり、どんな元よりも確実に大きい元のことを「最大元」と言います。


ちなみに、最小元は
$\displaystyle{\forall{a\in\mathbb{A}},m{\leqq}a}$
となるとき、mは最小元になります。
ただ左右を入れ替えただけですね。

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