関係演算子のいろいろな性質
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関係演算子の性質

関係演算子とは、
$\displaystyle{=\neq\leqq\geqq<>}$
のように、二つの元の間の関係を示すものでした。

また、関係演算子の対象は数字でなくても、ベクトルや行列、
三角形やひらがなでもOKでした。

当然どのように関係演算子を定義しても大丈夫です!!!

ところで、関係演算子にもその性質により、いろいろなものがあります。
例えば、以下に例を挙げると、
というものがあります。

反射律

とある関係演算子「〜」があるとして、
$\displaystyle{\forall{a},a{\sim}a}$
つまり、
「全ての元aに対し、a〜aが成り立っている」
関係のことを、反射律と言います。

例えば、反射律の例では「=」「≦」「≧」などがあります。
どんな実数aに対しても、
a=a
a≦a
a≧a
が成り立っています。

しかし、「<」「>」「≠」は反射的な関係ではありません。
なぜなら、
a<a
a>a
a≠a
のようなことは絶対に起こらないからです。

また、前回で定義した関係演算子「〜」
$\displaystyle{a{\sim}b\Rightarrow\frac{a}{b}=1}$ は、反射律な関係ではありません。
なぜなら、
0〜0
は成り立たないからです。
確かに
2〜2
3〜3
4〜4
など、中には反射律を満たすような元もありますが、
このように全ての元に対して成り立っているわけではないので、
この関係は反射律ではありません。


他にも反射律が成り立つものの例としては、
三角形の合同を表す$\displaystyle{\equiv}$も反射律を満たします。

対称律

とある関係演算子「〜」があるとして、
$\displaystyle{\forall{a,b},a{\sim}b{\Rightarrow}b{\sim}a}$
つまり、
「全ての元a、bに対し、a〜bだったら必ずb〜aである」
関係のことを、対称律と言います。

これが成り立つ関係演算子には、「=」「≠」などがあります。
なぜなら、a=bだったら絶対にb=aだからです。
逆にしても成り立つものが対象律です。

しかし、「≦」「≧」「<」「>」は成り立ちません。
なぜなら、
2<3だからと言って3>2は成り立たないからです。
つまり成り立つものでも、逆にしたら成り立たなくたってしまうものは対象律ではありません。

反対称律

とある関係演算子「〜」があるとして、
$\displaystyle{\forall{a,b},a{\sim}bかつb{\sim}a{\Rightarrow}a=b}$
つまり、
「全ての元a、bに対し、a〜bかつb〜aであるときはa=bの時に限る」
関係のことを、反対称律と言います。

これが成り立つ関係演算子には、「≦」「≧」などがあります。
例えば、
a≦bとb≦aが同時に成り立つときは、
a=bの時でしか、ありえません。
よって、これは反対称律です。

何気に「=」も反対称律だったりします。


推移律

とある関係演算子「〜」があるとして、
$\displaystyle{\forall{a,b,c},a{\sim}bかつb{\sim}c{\Rightarrow}a{\sim}c}$
つまり、
「全ての元a、b、cに対し、a〜bかつb〜cであるときはa〜cである」
関係のことを、推移律と言います。

これは「=」「≦」「≧」「<」「>」に成り立っています(「≠」では成り立たないことに注意!)。

例えば、もしa=bでb=cでもあれば、当然a=cとなります。
また、「<」も同様で、a<bでb<cでもあれば当然a<cとなります。


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