property_of_supremum1

<img src = "http://www15.atpages.jp/k27c8/exp/exp.cgi?d=$mathbb{'{'}A{'}'}$subset$mathbb{'{'}R{'}'}" align = "middle" />として、
<img src = "http://www15.atpages.jp/k27c8/exp/exp.cgi?d=f,g:$mathbb{'{'}A{'}'}$rightarrow$mathbb{'{'}R{'}'}" align = "middle" />とすると以下が成り立つ。 

<ul>
<li><img src = "http://www15.atpages.jp/k27c8/exp/exp.cgi?d=$sup_{'{'}t$in$mathbb{'{'}A{'}'}{'}'}(f(t)+g(t))$leqq$sup_{'{'}t$in$mathbb{'{'}A{'}'}{'}'}f(t)+$sup_{'{'}t$in$mathbb{'{'}A{'}'}{'}'}g(t)" align = "middle" /> 　
</li>

<li><img src = "http://www15.atpages.jp/k27c8/exp/exp.cgi?d={'{'}$forall{'}'}a$in$mathbb{'{'}A{'}'},f(a){'{'}$leqq{'}'}g(a) $Rightarrow $sup_{'{'}t$in$mathbb{'{'}A{'}'}{'}'}f(t)$leqq$sup_{'{'}t$in$mathbb{'{'}A{'}'}{'}'}g(t)" align = "middle" /></li>
</ul>
 
ただし
<img src = "http://www15.atpages.jp/k27c8/exp/exp.cgi?d=$sup_{'{'}t$in$mathbb{'{'}A{'}'}{'}'}f(t):=$sup${'{'}f(t)|t$in$mathbb{'{'}A{'}'}${'}'}" align = "middle" />とする。

similary_of_max_and_supremum

順序集合<img src = "http://www15.atpages.jp/k27c8/exp/exp.cgi?d=$mathbb{'{'}A{'}'}" align = "middle" />が最大値をもつとき、
<img src = "http://www15.atpages.jp/k27c8/exp/exp.cgi?d=$mathbb{'{'}A{'}'}" align = "middle" />には上限が存在して 
<img src = "http://www15.atpages.jp/k27c8/exp/exp.cgi?d=$max{'{'}A{'}'}=$sup{'{'}A{'}'}" align = "middle" /> 
となる。 
 
これより、上限とは最大値のようなものだと考えられませんか？

順序関係