$\displaystyle{\mathbb{A}=\{1,2,3\}}$
とします。

さて、この集合の部分集合を全て挙げましょう！！！
$\displaystyle{\{\}}$
$\displaystyle{\{1\}}$
$\displaystyle{\{2\}}$
$\displaystyle{\{1,2\}}$
$\displaystyle{\{3\}}$
$\displaystyle{\{1,3\}}$
$\displaystyle{\{2,3\}}$
$\displaystyle{\{1,2,3\}}$
と、全部でこの8つが挙げられます。
気をつける点として、部分集合には何の元の含まない集合(これを空集合と言うのは、以前やりましたね？)と、
自分自身の集合も含むということです。

さて、集合$\displaystyle{\mathbb{A}}$の全ての部分集合を元として含む集合のことを、 $\displaystyle{\mathbb{A}}$の冪集合といい、
$\displaystyle{\mathfrak{P}(\mathbb{A})}$
と表します。
つまり、
$\displaystyle{\mathfrak{P}(\mathbb{A})=\{\{\},\{1\},\{2\},\{1,2\},\{3\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}}$
となります。
・・・とても大きな元の集合ですね？
冪集合は、2の$\displaystyle{\mathbb{A}}$の元の数乗分の元の数を持つので、一般にとても膨大な集合になります。

冪集合の定義をを内包的記法で表すとしたら、
$\displaystyle{\mathfrak{P}(\mathbb{A})=\{\mathbb{S}|\mathbb{S}\subset\mathbb{A}\}}$
となります。