集合$\displaystyle{\mathbb{A}}$と集合$\displaystyle{\mathbb{B}}$があるとします。
もし、集合$\displaystyle{\mathbb{A}}$の全ての元が集合$\displaystyle{\mathbb{B}}$に含まれるとき、
$\displaystyle{\mathbb{A}}$を$\displaystyle{\mathbb{B}}$の部分集合といい、
$\displaystyle{\mathbb{A}\subset\mathbb{B}}$

と表します。 また逆に$\displaystyle{\mathbb{B}}$を$\displaystyle{\mathbb{A}}$の上位集合とも言います
上位集合は時々拡大集合とも呼ばれます。

部分集合の例を挙げていきましょう。
$\displaystyle{\{1,3\}\subset\{1,2,3,4\}}$
$\displaystyle{\{2,4,8,10\}\subset\{2,4,6,8,10\}}$
$\displaystyle{\{1\}\subset\{1,2,3\}}$

当然、
$\displaystyle{\{1,2,3,4\}\subset\{1,2,3,5\}}$
↑↑これは嘘であることは分かりますよね？左側の集合の元である4が、右側にはふくまれません。

それでは、もっとスケールを大きくしてみていきましょう。
$\displaystyle{\{2,4,8,10\}\subset\{x|xは偶数\}}$
$\displaystyle{\{x|xは偶数\}\subset\{x|xは整数\}}$
$\displaystyle{\{x|xは整数\}\subset\{x|xは複素数\}}$

ところで、
$\displaystyle{\{1,2,3,4\}\subset\{1,2,3,4\}}$

というように、左右同じ集合でも、左側の集合の全ての元は当然右側の集合に含まれるため、部分集合となります。
どんな集合でも、自身の集合は必ず含むので、部分集合として自分自身の集合を持ちます。
よって、「自身の集合」ではない部分集合のことを真部分集合といいます。
$\displaystyle{\mathbb{A}}$が$\displaystyle{\mathbb{B}}$の真部分集合であるとき、
$\displaystyle{\mathbb{A}\subsetneq\mathbb{B}}$

と表します。
だから、
$\displaystyle{\{1,2,3\}\subsetneq\{1,2,3,4\}}$

ですが、
$\displaystyle{\{1,2,3,4\}\subsetneq\{1,2,3,4\}}$
ではありませんね。

ちなみに$\displaystyle{\subset}$は、同じ集合も含めて部分集合ということを表しますが、文献によっては「同じ集合は含めない」というものもあるそうです。
もし同じ集合も含めて部分集合である、というものを強調したけらば$\displaystyle{\subseteq}$を使いましょう。