<img src = "http://www15.atpages.jp/k27c8/exp/exp.cgi?d=x$in$mathbb{'{'}A{'}'}$cup$mathbb{'{'}B{'}'}
$Leftrightarrow" align = "middle" />
<img src = "http://www15.atpages.jp/k27c8/exp/exp.cgi?d=x$in$mathbb{'{'}A{'}'}" align = "middle" />または<img src = "http://www15.atpages.jp/k27c8/exp/exp.cgi?d=x$in$mathbb{'{'}B{'}'}" align = "middle" />
 
<img src = "http://www15.atpages.jp/k27c8/exp/exp.cgi?d=x$in$mathbb{'{'}A{'}'}$cap$mathbb{'{'}B{'}'}
$Leftrightarrow" align = "middle" />
<img src = "http://www15.atpages.jp/k27c8/exp/exp.cgi?d=x$in$mathbb{'{'}A{'}'}" align = "middle" />かつ<img src = "http://www15.atpages.jp/k27c8/exp/exp.cgi?d=x$in$mathbb{'{'}B{'}'}" align = "middle" />
 としてください。 
 
 
<img src = "http://www15.atpages.jp/k27c8/exp/exp.cgi?d=x$in$mathbb{'{'}A{'}'}" align = "middle" />
ならば、 
<img src = "http://www15.atpages.jp/k27c8/exp/exp.cgi?d=x$in$mathbb{'{'}A{'}'}" align = "middle" />または<img src = "http://www15.atpages.jp/k27c8/exp/exp.cgi?d=x$in$mathbb{'{'}B{'}'}" align = "middle" />
であるはずなので 
<img src = "http://www15.atpages.jp/k27c8/exp/exp.cgi?d=$mathbb{'{'}A{'}'}$subset$mathbb{'{'}A{'}'}$cup$mathbb{'{'}B{'}'}" align = "middle" /> 
となるのは明らかです。 
 
 
また 
<img src = "http://www15.atpages.jp/k27c8/exp/exp.cgi?d=x$in$mathbb{'{'}A{'}'}$cap$mathbb{'{'}B{'}'}" align = "middle" /> 
<img src = "http://www15.atpages.jp/k27c8/exp/exp.cgi?d=$Rightarrow" align = "middle" />
<img src = "http://www15.atpages.jp/k27c8/exp/exp.cgi?d=x$in$mathbb{'{'}A{'}'}" align = "middle" />かつ<img src = "http://www15.atpages.jp/k27c8/exp/exp.cgi?d=x$in$mathbb{'{'}B{'}'}" align = "middle" />
 
<img src = "http://www15.atpages.jp/k27c8/exp/exp.cgi?d={'{'}$Rightarrow{'}'}x$in$mathbb{'{'}A{'}'}" align = "middle" /> 
となり 
<img src = "http://www15.atpages.jp/k27c8/exp/exp.cgi?d=$mathbb{'{'}A{'}'}$supset$mathbb{'{'}A{'}'}$cap$mathbb{'{'}B{'}'}" align = "middle" /> 
がいえます。

集合<img src = "http://www15.atpages.jp/k27c8/exp/exp.cgi?d=$mathbb{'{'}A{'}'},$mathbb{'{'}B{'}'}" align = "middle" />に対して 
<img src = "http://www15.atpages.jp/k27c8/exp/exp.cgi?d=$mathbb{'{'}A{'}'}$subset$mathbb{'{'}A{'}'}$cup$mathbb{'{'}B{'}'}" align = "middle" />と
<img src = "http://www15.atpages.jp/k27c8/exp/exp.cgi?d=$mathbb{'{'}A{'}'}$supset$mathbb{'{'}A{'}'}$cap$mathbb{'{'}B{'}'}" align = "middle" />が成り立つ