前回は「定理」とか「命題」とかやりましたよね？
今回は「定義」という言葉の意味です。



定義とは、言葉の意味を決めることです！！

• ２で割りきることのできる自然数を偶数という

これは定義になります。
つまり「偶数」という言葉の意味を規定しているのです！
言葉の意味を宣言するのです！！これが定義です。

• 二項演算子“+”が(a+b)+c=a+(b+c)を満たすとき“+”は結合律を満たすという
• ＡがＢの部分集合であるとは任意の元ａに対してａ∈Ａならばａ∈Ｂとなることである
• ｎ＜ｍとはｎ−ｍが正の数となることである

以上が定義の例です。
例えば最後の例を使いますと
「ｎ＜ｍだったらなんでｎ−ｍが正の数になるんだろう？」
って考えてはいけません！！
「ｎ＜ｍ」という言葉の意味は「ｎ−ｍが正の数であること！！」と言葉付けしているのです。

定義というのは言葉付けのことです！！

もう「定義」と「定理」とは、全くの別物であることは分かりましたね？
「定理」とは、命題の一種です。
一方「定義」とは「言葉決め」のことであり「命題」では決してございません。。。



さてさて、タイトルにもある通り
定義は数学においてとても重要なものなのです。
もし定義を知らなければ、定理の証明なんて絶対にできません。
「定理」とは定義から導かれる事実のことなので、
定理の証明には当然、定義を使います。
定義が与えられなければ、証明のしようがありませんものね。



例えば、以下の問題が出たらどうしますか？？？

• １＋１＝２を証明しなさい！！

余談ですが、私は小学生の家庭教師をやったことがあります。
小学生の間では「１＋１＝２は当たり前」というような合言葉があるようなのですね(*^_^*)/

さて、余談はここまでにして・・・
一見、このような、世間一般で当たり前と言われているような式を、
一体どうやって証明するんでしょうか？
「１＋１＝２ってそんなの当たり前じゃん？？」
「当たり前なら証明して下さい(笑)」
う〜〜ぅむ(‾ω‾;)


まず、この式を証明するために必要な定義は、
「１の定義」「２の定義」「足し算“＋”の定義」です。
ほら、こんな簡単な式を証明するのにもちゃんと“定義”が重要ですよね？
これに関する詳しいことは次回「Peanoの公理」で述べますm(_ _)m

定義をするときに、気をつけなければならないことがあります。
それは、定義は厳密に述べなければならない、ということです。
例えば、
「飛ぶことができる物のことを『鳥』という」
と定義したとしましょう。


そうしたらなんと「飛行機」も“鳥”になってしまいます！！！！
なぜなら「飛ぶ物はなんでも『鳥』」だと定義してしまったわけです。



だから↓↓こう修正すればいい訳ですね(もしあなたが本当に「飛行機」みたいなものでも“鳥”と呼びたいならば、上の定義でもかまいませんが・・・)

「飛ぶことができる生き物のことを『鳥』という」

しかし、そうしたらペンギンは鳥ではなくなってしまいます。
現代の生物学では「ペンギンは鳥類に属する」となっているのにね・・・
あとカブトムシ・トンボなどの昆虫も鳥になってしまいます。
また「○○えもん」の世界になりますが「タケ○○ター」を使えば空を飛べるので、人間も鳥になってしまいます。


だから、定義をまた修正するしかないです(もし昆虫や「○ケコプ○ー」を使った人間も鳥と言いたいなら、上の定義でもかまわないですが・・・)。
鳥の定義は鳥学者にお任せします(笑)

・・・というように、定義ってとても厳密にしなきゃいけないのです。

「実数とは無理数と有理数を合わせたもののことである」

これは実数の定義ですね。一方、

「無理数とは有理数ではない実数のことをいう」


もし、この２つを同時に実数、無理数の定義だとしたら、これはおかしいです。



“実数”を定義するのに“無理数”という言葉が出てきてしまいました。
しかし“無理数”を定義するのに“実数”という言葉が出てきてしまいます。

「Ａを定義するためにＢの定義が必要だが、Ｂの定義にＡの定義が使われている・・・？」
こういう現象のことを循環定義といいます。

「実数」or「無理数」どちらかの定義がはっきりしなけりゃ、定義のたらいまわしになり、結局なに言ってるか分からないのです。


Ａ：「低くない山を高い山と言います。」
Ｂ：「じゃぁ、低い山って何？」
Ａ：「低い山とは、高くない山のことを言います。」

これも循環定義ですね。
Ａさんは「高い山」が何なのかを知らないわけです。
「高い山」を知るために「低い山」の定義を使うわけ。
しかし「低い山」を知るためには「高い山」の定義が必要。
だが、元々「高い山」を知らないのに、再びここで「高い山」の定義ができてしまう。
そんなのなんか、分かりっこないでしょ？



また
１．「右とは、左の反対である。」
２．「左とは、右の反対である。」
これも循環定義の一例ですよね？
１番目の定義より右を知るために左を知らなければならない。
一方左の定義は２番目にあるが、そこには右を知らなければならない。
よって、１番目の定義に戻る。
このように、１番目の定義と２番目の定義をぐ〜るぐ〜るとたらい回しにしているわけです・・・




数学を志す人は、こんな定義をしないように気をつけましょう(笑)