ペアノの公理

ペアノの公理とは？

さてさて、今回はペアノの公理に関して解説します。

ペアノの公理とは以下の命題のことです。


ペアノの公理：
次の５つの条件を満たすような集合$\displaystyle{\mathbb{N}}$と
$\displaystyle{\mathbb{N}}$上の関数$\displaystyle{s}$が存在する。
  1. $\displaystyle{0 \in \mathbb{N}}$
  2. $\displaystyle{x \in \mathbb{N} \Rightarrow s(x) \in \mathbb{N}}$
  3. $\displaystyle{\neg\exists x, s(x) = 0}$
  4. $\displaystyle{s(a)=s(b) \Rightarrow a = b}$
  5. $\displaystyle{\forall X\psi(0) \in X \land (x \in X \Rightarrow s(x) \in X) \Rightarrow X = \mathbb{N}}$

ペアノの公理のココロ

まぁ、上の５つの式を見ただけでは、さっぱり理解できないですね(--;

説明しますとというのは自然数全体からなる集合のことを表している・・・って考えれば分かるかな？
また関数というのは“次の数”という意味です！！！
をｘの跡継ぎあるいは後者と呼びます。 といえばよいでしょうか？

注：ここでは分かりやすさのためにs(x)=x+1としましたが、
これは少し問題があります。
なぜなら我々は、足し算“+”をまだ定義していないからです！！


ペアノの公理では、０と「次の数を与える関数」を与えることにより、
自然数を構成していこう！！という発想から生まれました。

例：
とはのことである。
とはのことである。
とはのことである。
　・
　・
　・

というように、連鎖的にどんどん全ての自然数が“定義”できますよね？


注：ところで、このペアノの公理では自然数として“０”を含めていますが、
「自然数に０を含めるor含めない」という概念は人によって違います。
ペアノの公理では“０”も自然数として考えた方がやりやすいので、
ここでは「“０”も自然数である」とします。

各式の説明

それでは、上の５つの式の説明に入りたいと思います。



    • まず、ペアノの公理の１番目の条件です。
    これは「自然数の中で一番小さな数である“０”を自然数という元に含める」ということです。
    まぁ当然ですね。。。



    • 次に、ペアノの公理の２番目の条件です。
    これは「ある数が自然数ならば、その次の数であるも自然数！！」
    ということを表しています。
    これで、関数をどんどん適応していって、いくらでも自然数の元ができますね。



    • ここで、上の記号は“否定”を表します。
    この論理式を日本語に訳しますと(笑)、
    「となるようなｘは存在しない！！」
    です。
    これは「０は何かの次の数である」ということを否定するものであり、
    ０という数が自然数の中で最小のものであることを物語っています。



    • これは、関数の単射性を表しています(単射は分かりますよね？)。
    ・・・けっこう素朴な条件ですが、これは結構、重要な条件になってきます。



    • さぁ、これが一番分かりにくいのではないでしょうか？
    ここで出てきた記号は「かつ」という意味です。
    たとえばは「ＰかつＱ、つまりＰとＱの両方が成り立つ」ということを意味しています。

    この条件を日本語に翻訳すると、
    「Ｎの任意の部分集合Ｓに対し、Ｓが０を含み、かつ(ｘ∈Ｓ⇒ｓ(x)∈Ｓ)ならば、ＳとＮは等しい」
    ・・・日本語訳にしても分かりにくいですね？


    まず、
    ペアノの公理の１番目(０∈Ｎ)と２番目の条件(ｘ∈Ｎ⇒ｓ(ｘ)∈Ｎ)を満たすようなＮの部分集合“Ｓ”を考えます。
    そしたら、ＳはＮ自身だ、という主張です。

    部分集合“Ｓ”は、Ｎよりも当然、集合として「小さい」はずです。部分集合なので。。。
    しかし、ペアノの公理の１番目と２番目の条件を満たしていたら、
    ＳはＮと等しくなると言っているのです。

    裏返せば、ペアノの公理の１番目と２番目の条件を満たしていて、
    なおかつＮより小さな集合はＮ自身しかないということ。
    つまり、Ｎはペアノの公理の１番目と２番目の条件を満たす集合の中で最小であることを表しています。

    そういう意味で、Ｎは余分な元を含まない、純粋な集合であるといえます☆↓





    分かりましたか？？？
    分からなくても・・・まぁ気になさらず、先にすすみましょうか？

    ペアノの公理の５番目

    これがペアノの公理の５番目のものです。
    しかし、この公理の代わりに
    を採用する場合があります。
    実はこの公理は数学的帰納法を表しています。


    (公理的集合論の下では)この２つの公理は同値になります。

    ただ、この公理は「任意の述語に対して」という考えを使っていますね。
    例えばというように「任意の述語に対して」というような表現を使っています。

    ∀や∃（この２つの記号のことを量化子記号という）は、
    普通は集合や、その集合の元に対してかかるものです。
    例えば「任意のの元に対して・・・」
    という表現はありますが、
    「任意の述語に対して・・・」という表現はあまり使われません。



    まぁともかく、
    「任意の述語に対して・・・」のような、量化子記号が述語や命題にもかかるような論理のことを２階論理と言います。
    一方量化子記号にかかるのは集合の元だけ、というような論理は１階論理と言われます。

    足し算や掛け算

    さてさて、ペアノの公理とは、自然数を表す公理でした。


    実は、ペアノの公理を使い、足し算“＋”や掛け算“×”が定義できます。
    しかし、これに関することは少し議論が複雑になるので、また次の機会で
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