開集合と閉集合の公理
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開集合の公理

今回は、「開集合の公理」というものを紹介します。
開集合の公理は、以下の3つからなっています。
[O1
全体集合(この場合、実数$\displaystyle{\mathbb{R}}$と空集合$\displaystyle{\phi}$は開集合である
[O2
開集合の任意個の和集合も開集合である
[O3
開集合の有限個の共通部分も開集合である

開集合の公理を見ていこう

この3つの公理は、「開集合の定義」のページで述べた開集合の性質です。
さてさて、それでは復習のつもりで、この公理を順に追っていきましょう。


まずは、[O1]ですね。
これは、実数全体の集合、つまり$\displaystyle{(-\infty,\infty)}$や、
空集合も開集合として考えるということは、前回も説明した通りです。


さて、次は[O2]です。
開集合と開集合の和集合も開集合になることは前回もお話しました。



ところで、「任意個の和集合」と書きましたので、
開集合の和集合を何回とっても、開集合になります。
もちろん、無限個の開集合で和集合をとってもOKです。
だから、
$\displaystyle{\bigcup_{x=1}^\infty(x-1,x)=(0,1)\cup(1,2)\cup(2,3)\cup\cdots}$
も開集合です!!!


次に[O3]です。
前回では、2つの開集合の共通部分も開集合になることを言いました。
ところで、有限個の開集合の共通部分も開集合になることは、
「2つの開集合の共通部分は開集合になる」という条件から帰納的に示せます。

例えば、3つの開集合$\displaystyle{\mathbb{A},\mathbb{B},\mathbb{C}}$の共通部分を考えます。
$\displaystyle{\mathbb{A}\cap\mathbb{B}}$は開集合です。
開集合$\displaystyle{\mathbb{A}\cap\mathbb{B}}$と開集合$\displaystyle{\mathbb{C}}$の共通部分も開集合になりますので、
結果$\displaystyle{\mathbb{A}\cap\mathbb{B}\cap\mathbb{C}}$も開集合になります。


しかし、「有限個の共通部分」、ということに気をつけてください。 開集合の共通部分を無限回とったら、開集合じゃなくなってしまう場合もあります。
例えば、
$\displaystyle{\bigcap_{x=1}^\infty(-\frac1x,\frac1x)=(-1,1)\cap(-\frac12,\frac12)\cap(-\frac13,\frac13)\cap\cdots=\{0\}}$
というように、この無限個の共通部分は、0だけを含む集合になってしまいます。
一つだけの元を持った集合は閉集合なので、開集合の無限個の共通部分も開集合になるとは限らないのです。
(一つの元しか持たない集合は閉集合であって開集合ではない、とうのは前回と同じところです)

あれ?新しい書き方だよ

たった今、何気なく使いましたが、
ここで、新しい和集合と共通部分の記号の書き方を説明します。

先ほど、
$\displaystyle{\bigcap^n_{x=1}(x-1,x)}$
なんて書きましたが、
これは、総和を表すΣと考え方は同じ、と思えば分かりやすいと思います。

Σでは、数列$\displaystyle{a_1,a_2,a_3,\cdots}$の1からnの総和を、
$\displaystyle{\sum^n_{i=1}a_i}$ として表されたのを考えると、

集合の列$\displaystyle{\mathbb{A}_1,\mathbb{A}_2,\mathbb{A}_3,\cdots}$があるとして、
$\displaystyle{\bigcap_{i=1}^n\mathbb{A}_i=\mathbb{A}_1\cap\mathbb{A}_2\cap\cdots}$
$\displaystyle{\bigcup_{i=1}^n\mathbb{A}_i=\mathbb{A}_1\cup\mathbb{A}_2\cup\cdots}$
と考えても難しくはないと思います。



また、 $\displaystyle{\cap^\infty_{x=1}(-\frac1x,\frac1x)}$ も考えることができます。
これは、無限個の集合の共通部分と考えることができます。
注:実は「“無限個”の共通部分」という言い方は、数学的にあまり良くないのです。詳しくは後々説明します。
もちろん、同様に無限個の和集合も同様に定義することができます。

閉集合の公理

開集合の補集合は閉集合になるので、
ド・モルガンの法則を用いて、今度は「閉集合の公理」を導き出すことができます。

[C1
全体集合(この場合、実数$\displaystyle{\mathbb{R}}$)と空集合$\displaystyle{\psi}$は閉集合である
[C2
閉集合の有限個の和集合も閉集合である
[C3
閉集合の任意個の共通部分も閉集合である

今回は、[C2]の「有限個の和集合」に気をつけて下さい。
無限個の閉集合の和集合が閉集合になるとは限らないのです。
たとえば、一つの元しか持たない集合は閉集合になることは、前回お話しました。
よく考えてみると$\displaystyle{(0,1)}$のような開集合を、
$\displaystyle{\bigcup_{0{<}x{<}1}\{x\}}$
0より大きくて1より小さい数を一つ含めた集合の全ての和集合と考えると、これは無限個の元を持つ集合の和集合と考えれます。

よって、閉集合の無限個の和集合も閉集合になるとは限らないのです。


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