開基
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位相にしよう

位相はご理解できましたか?

$\displaystyle{\mathbb{X}=\{a,b,c,d,e\}}$
$\displaystyle{\mathscr{T}=\{\phi,\{a\},\{d\},\{a,d\},\{c,d\},\{d,e\},\{a,c,d\},\{a,d,e\},\{c,d,e\},\{b,c,d,e\},\{a,c,d,e\},\mathbb{X}\}}$
このとき$\displaystyle{\mathscr{T}}$$\displaystyle{\mathbb{X}}$の位相になっていますよね?



ここで、
$\displaystyle{\mathscr{B}=\{\{a\},\{d\},\{c,d\},\{d,e\},\{b,c,d,e\}\}}$
とします。

このとき$\displaystyle{\mathscr{B}}$$\displaystyle{\mathbb{X}}$の位相になってません。
位相の公理[O1]のように、空集合を含んでいません。
また位相の公理[O2]のように、
$\displaystyle{\mathscr{B}}$の中から適当な元をとって、その和集合をとったもので
$\displaystyle{\mathscr{B}}$に含まれていないものがあります。

例えば{a}と{d}は2つとも$\displaystyle{\mathscr{B}}$の元ですが、
その和集合{a,d}は$\displaystyle{\mathscr{B}}$に含まれていません。




・・・じゃあ、ここで逆の発想(?)です。
「それなら、位相となるように、適当なものを加えてやればいいじゃない?」

例えば$\displaystyle{\mathscr{B}}$の元{a}と{d}に対し、
{a}∪{d}={a,d}も$\displaystyle{\mathscr{B}}$に加えていきます。
次は$\displaystyle{\mathscr{B}}$から{a}と{d}と{c,d}を持ってきて、
{a}∪{d}∪{c,d}={a,c,d}も$\displaystyle{\mathscr{B}}$に含まれていないから、
それを新しく付け加える・・・という感じで。



このようにして、適当な$\displaystyle{\mathscr{B}}$の元をいくつかとってきて、
その和集合を新しく付け加える・・・という作業をどんどんしていけば、
結果として位相の公理[O2]を満たすことになります。

演習問題♪

じゃぁ、例を出していきましょっか♪
$\displaystyle{\mathbb{X}=\{a,b,c,d\}}$
$\displaystyle{\mathscr{B}=\{\{a\},\{c\},\{b,c\},\{c,d\}\}}$
さて、これから適当な集合をいろいろとってきて、和集合をつくります。
{a}∪{c}={a,c}
{a}∪{b,c}={a,b,c}
{a}∪{c,d}={a,c,d}
{b,c}∪{c,d}={b,c,d}
{a}∪{b,c}∪{c,d}={a,b,c,d}=$\displaystyle{\mathbb{X}}$
また、ゼロ個の元をとってきて、その和集合は空集合、という理由で、空集合$\displaystyle{\phi}$も加えます(ちょっと強引に感じるかもしれないですが・・・)
・・・以上で、和集合で作れて$\displaystyle{\mathscr{B}}$にはないものは、全部かな?

これらを加えたものを$\displaystyle{\mathscr{T}}$とすると
$\displaystyle{\mathscr{T}=\{\psi,\{a\},\{c\},\{a,c\},\{b,c\},\{c,d\},\{a,b,c\},\{a,c,d\},\{b,c,d\},\mathbb{X}\}}$
となります。
もう$\displaystyle{\mathscr{T}}$$\displaystyle{\mathbb{X}}$の位相になってますよね?


このようにして、位相になっていない$\displaystyle{\mathscr{B}}$から
位相$\displaystyle{\mathscr{T}}$が生成されたとき、
$\displaystyle{\mathscr{B}}$$\displaystyle{\mathscr{T}}$開基といいます。

つまり開基とは、位相をつくる材料なのです。



ここで、位相を生成していく過程で、
{a}∪{b,c}∪{c,d}={a,b,c,d}=$\displaystyle{\mathbb{X}}$
と、全体集合が作れました。
このように、位相を生成していく過程で、全体集合ができる必要があります。
なぜなら位相の公理[O1]では、全体集合も含まなければなりません。
もし全体集合ができなかったら、これは開基にはなりません。

開基になれないもの

それでは、次は
$\displaystyle{\mathbb{X}=\{a,b,c\}}$
$\displaystyle{\mathscr{B}=\{\{a,b\},\{b,c\}\}}$
を考えましょう。


これで、上と同じように位相を生成しようとすると・・・
{a,b}∪{b,c}={a,b,c}=$\displaystyle{\mathbb{X}}$で、それと空集合を加えて
$\displaystyle{\mathscr{T}=\{\psi,\{a,b\},\{b,c\},\mathbb{X}\}}$
ですが、これは位相になっていません。
なぜなら、
{a,b}∩{b,c}={b}
は、$\displaystyle{\mathscr{T}}$に含まれていないため、
[O3]を満たしていません。

中には、このように位相になれないため、
開基にはなれないものもあります。

開基の例

例えば、開区間$\displaystyle{(a,b)}$を考えます。

実は開区間全体の集合は$\displaystyle{\mathbb{R}}$上の通常の位相の開基となります!!!


実際、通常の位相における開集合は、開区間の和集合で表せますね!!

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