近傍
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さて、これからは…

さて、今まで「位相空間」やら「距離空間」の定義をしていきました。

これからは、位相における一般論について述べていきたいとおもいます。

近傍とは

$\displaystyle{X}$を位相空間とします。


そして$\displaystyle{a{\in}X}$とします。


さて、これからは「$\displaystyle{a}$近傍」など、 「○○の近傍」という、近傍という言葉が出てきます。

さて、その近傍の定義を下に書きます。

近傍の定義

$\displaystyle{A{\subset}X}$として、
$\displaystyle{A}$$\displaystyle{a}$の近傍 とは、 ある開集合$\displaystyle{U_a}$が存在して、
$\displaystyle{a{\in}U_a{\subset}A}$
となることである


↑これが近傍の定義です。
・・・よく分からなかった人はいますか???


$\displaystyle{a}$を元ととしてもつ 開集合$\displaystyle{U_a}$があるとしたとき、
$\displaystyle{U_a}$を部分集合としてもつもの なんでも$\displaystyle{a}$の近傍だということです。

1次元の位相空間で例を

実数$\displaystyle{\mathbb{R}}$に通常の位相が入っているとします。
さて、0は実数$\displaystyle{\mathbb{R}}$の元ですが、
0の近傍はどんなものになるでしょうか?

0を含む開集合といえば
$\displaystyle{(-1,1)}$
$\displaystyle{(-100,100)}$
$\displaystyle{(-1,1)\cup(2,4)}$
$\displaystyle{(-\infty,\infty)=\mathbb{R}}$
など、いろいろなものが考えられます。
これらを部分集合として含むものは、どんなものでも近傍です。
たとえば閉区間$\displaystyle{[-1,1]}$
$\displaystyle{(-1,1)\subset[-1,1]}$なので、
$\displaystyle{[-1,1]}$は0の近傍です。


それに$\displaystyle{(-1,1)\cup\{10000000\}}$も0の近傍だし、
$\displaystyle{\mathbb{R}}$自身も0の近傍になります。
当然$\displaystyle{(-1,1)}$自身も0の近傍ですよね?



・・・と考えると、“近傍”っていかにも「近そう」なニュアンスを含めた言葉ですけど、
全然近くありませんね。
一体何なんだ・・・この用語は(・。・)

1次元の位相空間で近傍じゃないものの例

逆に以下に挙げるものは0の近傍ではありません。
$\displaystyle{A=\{0\}}$
$\displaystyle{B=\{-1,0,1\}}$
$\displaystyle{C=(-\infty,-1) \cup \{0\} \cup (1,\infty)}$
$\displaystyle{D=[0,3]}$

0の近傍というのは、0を含む開集合を入れることができるか、ということです。
明らかに「この中に、どうやって開集合をいれるんだよ(-o-#) 」っていうものばかりなので、
これらは0の近傍ではありませんよね?

例えば$\displaystyle{A=\{0\}}$の中には、 どうやっても開集合は絶対に入りませんよね。

また、閉区間 $\displaystyle{D=[0,3]}$は0の近傍ではありません。
0を含む開集合をDの中に入れようとしたら、どうしても左側がはみ出してしまいますよね・・・?

開近傍

さてと・・・。


$\displaystyle{X}$を位相空間とします。
ここで、$\displaystyle{U_a}$を開集合としましょう。
このとき、もし$\displaystyle{a{\in}U_a}$ならば、
$\displaystyle{U_a}$$\displaystyle{a}$の近傍ですよね?


つまり、
開集合自身も、近傍となるのです。


このことは、近傍の定義をもう一度確認してみれば、分かることですね↓↓↓
(↑数学は、定義に振り返ってみることが大切です!!)

$\displaystyle{U_a}$$\displaystyle{a}$の近傍 とは、 ある開集合$\displaystyle{O}$が存在して、
$\displaystyle{a{\in}O{\subset}U_a}$
となることである・・・


このときの$\displaystyle{O}$$\displaystyle{U_a}$とおけばよいのです。



開集合である近傍のことを開近傍といいます。


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