例えば
例を挙げます。
$\displaystyle{\mathbb{X}=\{a,b,c,d,e\}}$
とします。
$\displaystyle{\mathscr{T}=\{\phi,\{a\},\{c,d\},\{a,c,d\},\{b,c,d,e\},\mathbb{X}\}}$
このとき$\displaystyle{\mathscr{T}}$は$\displaystyle{\mathbb{X}}$の位相になります。
なぜなら、$\displaystyle{\mathscr{T}}$のどの元をとって和集合や共通部分をとって作られた元も$\displaystyle{\mathscr{T}}$に含まれます。
しかし、
$\displaystyle{\mathscr{T}=\{\phi,\{a\},\{c,d\},\{a,c,d\},\{b,c,e\},\mathbb{X}\}}$
これは$\displaystyle{\mathbb{X}}$の位相になってません。
なぜなら、$\displaystyle{\mathscr{T}}$から二つの元
$\displaystyle{\{a\}}$と$\displaystyle{\{b,c,e\}}$をとってきて、その和集合をとると、
$\displaystyle{\{a\}\cup\{b,c,e\}=\{a,b,c,e\}}$
となりますが、
$\displaystyle{\{a,b,c,e\}}$は$\displaystyle{\mathscr{T}}$の元ではないからです。
また、
$\displaystyle{\mathscr{T}=\{\psi,\{a\},\{c,d\},\{a,c,d\},\{a,b,d,e\},\mathbb{X}\}}$
これも$\displaystyle{\mathbb{X}}$の位相になってません。
なぜなら$\displaystyle{\mathscr{T}}$から二つの元
$\displaystyle{\{c,d\}}$と$\displaystyle{\{a,b,d,e\}}$の共通部分は、
$\displaystyle{\{c,d\}\cap\{a,b,d,e\}=\{d\}}$
となりますが、
$\displaystyle{\{d\}}$は$\displaystyle{\mathscr{T}}$の元に含まれていません。