位相


● 実数 の部分集合が開集合であるとは、
に含まれる全ての点がの内点であること、と定義する。

このとき、開集合の任意個の和集合も開集合になることを示せ
実数 の部分集合が開集合であるとは、
に含まれる全ての点がの内点であること、と定義する。

このとき、2つの開集合の共通部分も開集合になることを示せ
2つの開円が重なるとき、その共通部分は開集合になる
● 自然数全体からなる集合は閉集合である。
また、整数全体からなる集合も閉集合である

● 有理数全体から成る集合は 開集合でも閉集合でもない。
の開基になっていることと

は同値である
の開基になっていることと


は同値である。


つまり、の 任意の元に対して、

となるようなの元 が存在する、ということである



とすると、 は距離の公理をみたす

● 実数上で定義された、有界な実数値関数全体からなる集合をとする。
このとき、として

は距離となる。
● 閉区間上で定義された実数値関数全体の集合をとする。
このとき、として

は距離となる。
● 開球の直径を と表すとすると、

となる
を距離空間とする。
つまりに 距離が定義されているものとする。

このとき、
を開球として、

は開基となる
を開基とした位相空間とする。
とするとき、以下の2つは同値である。
あるの開集合が存在して
あるの元が存在して


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