位相
● 実数
の部分集合
が開集合であるとは、
に含まれる全ての点が
の内点であること、と定義する。
このとき、開集合の任意個の和集合も開集合になることを示せ
●
実数
の部分集合
が開集合であるとは、
に含まれる全ての点が
の内点であること、と定義する。
このとき、2つの開集合の共通部分も開集合になることを示せ
●
2つの開円が重なるとき、その共通部分は開集合になる
● 自然数全体からなる集合
は閉集合である。
また、整数全体からなる集合
も閉集合である
● 有理数全体から成る集合
は 開集合でも閉集合でもない。
●
が
の開基になっていることと
は同値である
●
が
の開基になっていることと
は同値である。
つまり、
の 任意の元
に対して、
となるような
の元
が存在する、ということである
●
とすると、
は距離の公理をみたす
● 実数上で定義された、有界な実数値関数全体からなる集合を
とする。
このとき、
として
は距離となる。
● 閉区間
上で定義された実数値関数全体の集合を
とする。
このとき、
として
は距離となる。
● 開球
の直径を
と表すとすると、
となる
●
を距離空間とする。
つまり
に 距離
が定義されているものとする。
このとき、
を開球として、
は開基となる
●
を
を開基とした位相空間とする。
とするとき、以下の2つは同値である。
ある
の開集合
が存在して
ある
の元
が存在して
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