実数 の部分集合が開集合であるとは、
に含まれる全ての点がの内点であること、と定義する。

このとき、２つの開集合の共通部分も開集合になることを示せ

$\displaystyle{\mathbb{A},\mathbb{B}}$をそれぞれ空集合でない開集合とします。
示したいことは、$\displaystyle{\mathbb{A}\cap\mathbb{B}}$も開集合である、ということです。

ｃを、
$\displaystyle{c\in\mathbb{A}\cap\mathbb{B}}$
とします。


$\displaystyle{c}$は、開集合$\displaystyle{\mathbb{A}}$の元ですので、
ある開区間$\displaystyle{S_a}$が存在して、
$\displaystyle{c{\in}S_a\subset\mathbb{A}}$
とすることができます。

同様に$\displaystyle{c}$は、開集合$\displaystyle{\mathbb{B}}$の元ですので、
ある開区間$\displaystyle{S_b}$が存在して、
$\displaystyle{c{\in}S_b\subset\mathbb{B}}$
とすることができます。


２つの開区間の共通部分も開区間なので、(※)
$\displaystyle{S_a{\cap}S_b}$は開区間になります。


ところで、$\displaystyle{c{\in}S_a}$かつ$\displaystyle{c{\in}S_b}$であるので、
$\displaystyle{c{\in}S_a{\cap}S_b}$です。
また、$\displaystyle{S_a{\cap}S_b\subset\mathbb{A}}$かつ$\displaystyle{S_a{\cap}S_b\subset\mathbb{B}}$であるので、
$\displaystyle{S_a{\cap}S_b{\subset}\mathbb{A}\cap\mathbb{B}}$
となります。


よって、
$\displaystyle{c{\in}S_a{\cap}S_b\subset\mathbb{A}\cap\mathbb{B}}$
となり、確かに$\displaystyle{c}$は$\displaystyle{\mathbb{A}\cap\mathbb{B}}$の内点となります。
よって、示されました。


また、$\displaystyle{\mathbb{A},\mathbb{B}}$の少なくとも一方がもし空集合の場合、この共通部分は空集合になります(空集合も開集合である)。



(※) 先ほど、何気に２つの開区間の共通部分は開区間になる、と言いました。
$\displaystyle{(a,b)\cap(c,d)=(\max(a,c),\min(b,d))}$
と考えると、２つの開区間の共通部分も開区間になることが分かります。
但し、$\displaystyle{\max(a,c)}$よりも$\displaystyle{\min(b,d)}$の方が値が小さい場合、これは空集合になります。

例えば、
$\displaystyle{(1,2)\cap(3,4)}$
は空集合になります。

しかし今回の議論では、２つの開集合 $\displaystyle{S_a,S_b}$には$\displaystyle{c}$という元を含んでいることを前提にしているため、
共通部分が空集合になることはありません。