２つの開円が重なるとき、その共通部分は開集合になる
以下のように、開円Ａと開円Ｂがあるとします。
Ａを中心の位置が$\displaystyle{a}$で、半径が$\displaystyle{r_a}$の円とし、
Ｂを中心の位置が$\displaystyle{b}$で、半径が$\displaystyle{r_b}$の円とします。
さて、以下のように開円Ａと開円Ｂの重なる領域に、点ｃを任意にとります。
ただし、
$\displaystyle{d(a,c)}$は点$\displaystyle{a}$と点$\displaystyle{c}$の距離を、
$\displaystyle{d(b,c)}$は点$\displaystyle{b}$と点$\displaystyle{c}$の距離を表しています。
ここで、点$\displaystyle{c}$は、開円Ａ内の点でもあり、同時に開円Ｂ内の点でもあるので、
$\displaystyle{d(a,c){\lt}r_a}$
$\displaystyle{d(b,c){\lt}r_b}$
の二つの不等式を同時に満たします。
ここで、
$\displaystyle{r_c=\min\{r_a-d(a,c),r_b-d(b,c)\}}$
とします。
ここで、$\displaystyle{r_c{\gt}0}$となっていることに注意しましょう。
ここで開円Ｃを、
中心が$\displaystyle{c}$で半径が$\displaystyle{r_c}$となるようにとると、
開円Ｃは図のように、開円Ａと開円Ｂの重なっている領域に、すっぽり収まることになります。
今から開円Ｃが、開円Ａと開円Ｂの重なっている領域にきれいに収まることを示します。
たとえば、開円Ｃ内の任意の点$\displaystyle{d}$をとります。
すると、
$\displaystyle{d(a,d)}$
$\displaystyle{{\leqq}d(a,c)+d(c,d)}$
$\displaystyle{{\lt}d(a,c)+r_c}$
$\displaystyle{{\leqq}d(a,c)+(r_a-d(a,c))}$
$\displaystyle{=r_a)}$
となります。
何だか複雑な式ですね・・・
それでは一行ずつ解説していきたいとおもいます。
１行目から２行目へは、三角不等式を使いました。
三角不等式の直感的な意味は、「寄り道するよりも、直接向かった方が近い」ということでしょうか・・・？
(三角不等式の詳しい解説は、また別のページで)
２行目から３行目は、
点$\displaystyle{d}$は、中心が$\displaystyle{c}$で半径$\displaystyle{r_c}$の開円内の点であることです。
３行目から４行目は、$\displaystyle{r_c}$の定義からです。
（∵ｍｉｎ｛ａ，ｂ｝≦ａ）
４行目から５行目は、括弧を外して普通に計算すれば求まります。
以上の式をまとめると、
$\displaystyle{d(a,d){\lt}r_a}$
となります。
ここで点$\displaystyle{d}$は、開円Ｃ内の任意の点です。
よって、開円内Ｃの任意の点は開円Ａ内にあることが分かりました。
つまり開円Ｃは開円Ａ内にすっぽり収まる、ということを意味しています。
同様に
$\displaystyle{d(b,d){\lt}r_b}$
も導き出されます。
これから、開円内Ｃの任意の点は開円Ｂ内にある、ということも分かり、
よって開円Ｃは、開円Ａ内にも開円Ｂ内にも収まっている円ということになります。
結果、開円Ｃは開円Ａと開円Ｂの重なる領域内に収まることが分かりました。
・・・以上のことより、２つの開円の共通部分の任意の点に対して、
その点を含む開円を、開円Ａと開円Ｂの共通部分の中に収めることができるので、
２つの開円の共通部分の全ての点は内点になります。
よって、開集合になることが分かりました。
Ａを中心の位置が$\displaystyle{a}$で、半径が$\displaystyle{r_a}$の円とし、
Ｂを中心の位置が$\displaystyle{b}$で、半径が$\displaystyle{r_b}$の円とします。
さて、以下のように開円Ａと開円Ｂの重なる領域に、点ｃを任意にとります。
ただし、
$\displaystyle{d(a,c)}$は点$\displaystyle{a}$と点$\displaystyle{c}$の距離を、
$\displaystyle{d(b,c)}$は点$\displaystyle{b}$と点$\displaystyle{c}$の距離を表しています。
ここで、点$\displaystyle{c}$は、開円Ａ内の点でもあり、同時に開円Ｂ内の点でもあるので、
$\displaystyle{d(a,c){\lt}r_a}$
$\displaystyle{d(b,c){\lt}r_b}$
の二つの不等式を同時に満たします。
ここで、
$\displaystyle{r_c=\min\{r_a-d(a,c),r_b-d(b,c)\}}$
とします。
ここで、$\displaystyle{r_c{\gt}0}$となっていることに注意しましょう。
ここで開円Ｃを、
中心が$\displaystyle{c}$で半径が$\displaystyle{r_c}$となるようにとると、
開円Ｃは図のように、開円Ａと開円Ｂの重なっている領域に、すっぽり収まることになります。
今から開円Ｃが、開円Ａと開円Ｂの重なっている領域にきれいに収まることを示します。
たとえば、開円Ｃ内の任意の点$\displaystyle{d}$をとります。
すると、
$\displaystyle{d(a,d)}$
$\displaystyle{{\leqq}d(a,c)+d(c,d)}$
$\displaystyle{{\lt}d(a,c)+r_c}$
$\displaystyle{{\leqq}d(a,c)+(r_a-d(a,c))}$
$\displaystyle{=r_a)}$
となります。
何だか複雑な式ですね・・・
それでは一行ずつ解説していきたいとおもいます。
１行目から２行目へは、三角不等式を使いました。
三角不等式の直感的な意味は、「寄り道するよりも、直接向かった方が近い」ということでしょうか・・・？
(三角不等式の詳しい解説は、また別のページで)
２行目から３行目は、
点$\displaystyle{d}$は、中心が$\displaystyle{c}$で半径$\displaystyle{r_c}$の開円内の点であることです。
３行目から４行目は、$\displaystyle{r_c}$の定義からです。
（∵ｍｉｎ｛ａ，ｂ｝≦ａ）
４行目から５行目は、括弧を外して普通に計算すれば求まります。
以上の式をまとめると、
$\displaystyle{d(a,d){\lt}r_a}$
となります。
ここで点$\displaystyle{d}$は、開円Ｃ内の任意の点です。
よって、開円内Ｃの任意の点は開円Ａ内にあることが分かりました。
つまり開円Ｃは開円Ａ内にすっぽり収まる、ということを意味しています。
同様に
$\displaystyle{d(b,d){\lt}r_b}$
も導き出されます。
これから、開円内Ｃの任意の点は開円Ｂ内にある、ということも分かり、
よって開円Ｃは、開円Ａ内にも開円Ｂ内にも収まっている円ということになります。
結果、開円Ｃは開円Ａと開円Ｂの重なる領域内に収まることが分かりました。
・・・以上のことより、２つの開円の共通部分の任意の点に対して、
その点を含む開円を、開円Ａと開円Ｂの共通部分の中に収めることができるので、
２つの開円の共通部分の全ての点は内点になります。
よって、開集合になることが分かりました。