unique_of_identity_element

任意の二項演算子に関して、単位元は高々一つしか持たないことを示せ


unique_of_reverse_element

ある元が逆元を持つとき、それはただ一つであることを証明せよ


if_and_only_if_sub_group1

群<exp>G</exp>の空でない部分集合<exp>H</exp>が<exp>G</exp>の部分群であるための必要十分条件は、 
<exp>a, b \in H \Rightarrow a^{'{'}-1{'}'}b \in H</exp>
 であることを示せ

intersection_of_two_group

<exp>A,B</exp>がそれぞれ、同じ二項演算子<exp>\circ</exp>に関して群をなしているとき、 
<exp>A \cap B</exp>も<exp>\circ</exp>に関して群となっている

equivalence_relation_in_group

<exp>H</exp>を<exp>G</exp>の部分群とする。 
このとき、<exp>a,b \in G</exp>に対して、 
<exp> a \sim b \; \Leftrightarrow \; ab^{'{'}-1{'}'} \in H</exp> 
と関係演算子〜を定義すると、これは同値関係になる

quotient_group_iff_normal_subgroup

<exp>H</exp>を<exp>G</exp>の正規部分群とする。 
<exp>[x], [y], [z] \in G / H</exp>のとき、 
<exp>[x] = [y] \Rightarrow [x][z] = [y][z]</exp> 
となる。 
 
ここで、 
<exp>[x] = xH</exp> 
とする。