任意の二項演算子に関して、単位元は高々一つしか持たないことを示せ

を半群とし、
二つの単位元 があるとしましょう。

ここで単位元の性質により、


となります。なぜなら は単位元だからです。

しかし も単位元なので


と、なってしまうため、

結局


となってしまうのです。

つまり、２つの単位元を定義しようとしても、その２つの単位元は同じ値になってしまい、
結局単位元は１つしか定義できないのです。