まとめ
「一次結合全体からなる集合」というのが、最も基本的な線形空間の例ではないでしょうか?
このように、ベクトルの組を適当に与えれば“一次結合”という操作により、線形空間が作れちゃいます☆
そういう意味で、ベクトルの組というのは、線形空間の“材料”であるということが、ご理解頂けたと思います。
一つのベクトルの線形結合の全体は“直線”という線形空間を表し・・・
二つの一次独立なベクトルの線形結合の全体は“平面”という線形空間を表し・・・
三つの一次独立なベクトルの線形結合の全体は“3次元空間”という線形空間を表し・・・
四つの一次独立なベクトルの線形結合の全体は“4次元超空間”という線形空間を表し・・・
基底
線形空間$\displaystyle{V}$が
一次独立なベクトルの組$\displaystyle{v_1,v_2,\cdots,v_n}$の一次結合全体の集合であるとき、
$\displaystyle{v_1,v_2,\cdots,v_n}$は線形空間$\displaystyle{V}$の基底であると言います。
“基底”とは、英語で「base」と言います。
ということで「基底とは、線形空間の材料なんだな〜」って理解して頂ければ、幸いです(*^-^