$\displaystyle{V}$が実数上の線形空間とは、以下の条件を満たすことである。
- $\displaystyle{0 \in V}$である。ここで$\displaystyle{0}$はゼロベクトルである
- $\displaystyle{v_1,v_2 \in V}$ならば$\displaystyle{v_1+v_2 \in V}$
- $\displaystyle{v \in V}$ならば、任意の実数$\displaystyle{c}$に対して$\displaystyle{cv \in V}$
これが線形空間の定義です。
ここで
条件1は「ゼロベクトルを含まなければならないこと」
条件2は「任意の2つの線形空間の元の和も、線形空間の元であること」
条件3は「線形空間の定数倍も線形空間の元であること」
を示しています。