切断は分かりましたか?
ところで切断には以下の4つのタイプがあることが知られています。
- 上組に最小元が存在し、下組に最大元が存在する切断
- 上組には最小元が存在せず、下組にも最大元が存在しない切断
- 上組に最小元は存在するが、下組には最大値が存在しない
- 上組には最小元が存在しないが、下組は最大元が存在する
例えば、整数
は、必ず1.の切断しかできません。
整数をどのように上組・下組に切断しても、絶対に上組に最小元、下組に最大元が存在します。
と切断した場合、確かに下組には最大元−1、上組には最小元0がありますね?
それでは、有理数
はどうでしょうか?
有理数は、2.3.4.の切断が可能ですが、
1.の切断はできません。
もし1.の切断ができたとして、その切断を
とします。
そして
の最大元
と
の最小元
とすると、
有理数は
稠密であることにより、
と
の間にまた別の数
が存在するはずですが、それは切断の定義に矛盾します。
(↑
は
とどっちに含まれるの?という話になります。)
以上の3つの切断はそれぞれ、2.3.4.の条件を満たしています。
具体的に説明すると、
一番上の切断は、下組として√2より小さな有理数、上組として√2より大きい有理数の切断を意味しています。
一番上の切断は、下組として0より小さな有理数、上組として0以上の有理数の切断を意味しています。
一番上の切断は、下組として0以下の有理数、上組として0より大きい有理数の切断を意味しています。