ただし
まず
+g(t))$leqq$sup_{'{'}t$in$mathbb{'{'}A{'}'}{'}'}f(t)+$sup_{'{'}t$in$mathbb{'{'}A{'}'}{'}'}g(t))
から示します。
上限の定義により、任意の
の元
に対し、
$leqq$sup_{'{'}t$in$mathbb{'{'}A{'}'}{'}'}f(t))
$leqq$sup_{'{'}t$in$mathbb{'{'}A{'}'}{'}'}g(t))
の２つの式が成り立つのは大丈夫でしょうか？
これらの２つの式より
+g(a)$leqq$sup_{'{'}t$in$mathbb{'{'}A{'}'}{'}'}f(t)+$sup_{'{'}t$in$mathbb{'{'}A{'}'}{'}'}g(t))
がいえます(２つの式を足しただけです)。
この式より、+$sup_{'{'}t$in$mathbb{'{'}A{'}'}{'}'}g(t))
は
集合+g(a)|a$in$mathbb{'{'}A{'}'}${'}'})
の上界になっていることが分かります。
ここで+g(t)))
は
の上限、
つまり上界全体からなる集合の最小元なので、
よって
がいえます。
次に
{'{'}$leqq{'}'}g(a) $Rightarrow $sup_{'{'}t$in$mathbb{'{'}A{'}'}{'}'}f(t)$leqq$sup_{'{'}t$in$mathbb{'{'}A{'}'}{'}'}g(t))
を示します。
上限の定義により
$leqq$sup_{'{'}t$in$mathbb{'{'}A{'}'}{'}'}g(t))
です。
また仮定より{'{'}$leqq{'}'}g(a))
から{'{'}$leqq{'}'}g(a)$leqq$sup_{'{'}t$in$mathbb{'{'}A{'}'}{'}'}g(t))
よって
$leqq$sup_{'{'}t$in$mathbb{'{'}A{'}'}{'}'}g(t))
がいえます。
この式より、任意のの元に対して
)
は)
より大きいと言ってるので
は集合
|a$in$mathbb{'{'}A{'}'}${'}'})
の上界となります。
また)
は上界全体からなる集合の最小元なので
よって
$leqq$sup_{'{'}t$in$mathbb{'{'}A{'}'}{'}'}g(t))
がいえました。
から示します。
上限の定義により、任意の
の２つの式が成り立つのは大丈夫でしょうか？
これらの２つの式より
がいえます(２つの式を足しただけです)。
この式より、
集合
ここで
よって
次に
を示します。
上限の定義により
です。
また仮定より
から
よって
がいえます。
この式より、任意の
また
よって
がいえました。