差集合と補集合
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差集合

集合$\displaystyle{\mathbb{A}}$から集合$\displaystyle{\mathbb{B}}$を引いた差集合とは、
$\displaystyle{\{x|x\in\mathbb{A}かつx\notin\mathbb{B}\}}$

のことをいい、
$\displaystyle{\mathbb{A}-\mathbb{B}}$

$\displaystyle{\mathbb{A}/\mathbb{B}}$
と表します。

・・・分かりましたか?
これだけじゃ分かりにくい人もいるかもしれないので、例を出していきましょう。

$\displaystyle{\mathbb{A}=\{1,2,3,4,5\}}$
$\displaystyle{\mathbb{B}=\{1,3\}}$
とすると、
$\displaystyle{\mathbb{A}/\mathbb{B}=\{2,4,5\}}$

となります。
つまり、集合$\displaystyle{\mathbb{A}}$の中から$\displaystyle{\mathbb{B}}$にある元、つまり1と3を取り除いた集合だと思っていただければいいと思います。

ところで、以下の場合はどうなるでしょうか?
$\displaystyle{\mathbb{A}=\{1,2,3,4\}}$
$\displaystyle{\mathbb{B}=\{1,2,3,5\}}$

このとき、集合$\displaystyle{\mathbb{A}}$から集合$\displaystyle{\mathbb{B}}$を引いた差集合は、
集合$\displaystyle{\mathbb{B}}$の元、具体的に1,2,3,5を集合$\displaystyle{\mathbb{A}}$の元から取り除いたものになりますが、
さて、1,2,3,5を取り除くか・・・ってあれれ?5って集合$\displaystyle{\mathbb{A}}$にないよ?

こーゆー場合は、無視をします。5は引かれる側の集合、つまり$\displaystyle{\mathbb{A}}$には存在しないので、この元は無視しましょう。
よって
$\displaystyle{\mathbb{A}/\mathbb{B}=\{4\}}$

となります。

補集合

補集合とは、その集合に含まれない元を全て含む集合のことを言います。
集合$\displaystyle{\mathbb{A}}$があるとすると、
集合$\displaystyle{\mathbb{A}}$に含まれない元を全て集めたものを$\displaystyle{\mathbb{A}}$の補集合といいます。
捕集合は、
$\displaystyle{\mathbb{A}^C}$
または
$\displaystyle{\overline{\mathbb{A}}}$
のように表されます。

ちなみに補集合の定義を数学風に書くならば、
$\displaystyle{\overline{\mathbb{A}}=\{x|x\in\mathbb{A}\}}$
です。

ん?

ここで、鋭い人は「ん?」とか「あれ?」とか「ほわゎ?」とか思ったかもしれません。
なぜなら、集合の元は、どんなものでも許されます。

たとえば、偶数の集合の補集合は奇数の集合でしょうか?
確かに奇数は偶数の集合には入りませんが、よく考えれば、
整数以外の有理数や実数も偶数の集合に入らないため、偶数の補集合の元になってしまうのではないでしょうか?
また、集合の元としてはa,bなどのアルファベット、ひらがな、国名など、なんでもOKだったはずなので、
ただ偶数の補集合を考えただけで、数字以外の関係ないものもごちゃごちゃした、とんでもない膨大な集合になってしまいます。

そんなことを考えれば、とても補集合が考えづらく、また扱いにくいものになってしまうので、どこかで適当な上位集合を考えます。
上位集合ってなに?って人は部分集合のページへレッツゴー☆。

例えば、偶数の集合の補集合を考えるとき、「整数の中だけで考えてよ〜」とか、「実数の中だけで補集合をとってきてね。」みたいな、
適当な範囲を考えることです。
もし整数の中だけで考えると、偶数の補集合は奇数の集合になりますし、
実数の中だけで考えると、偶数の補集合は偶数以外の実数を全て含んだ集合になります。

このように、適当な上位集合を考えなければ、補集合はめちゃくちゃになってしまいます。
この適当な上位集合のことを普遍集合といいます。
このとき、普遍集合を$\displaystyle{\mathbb{U}}$として補集合を定義し直すとすれば、
$\displaystyle{\overline{\mathbb{A}}=\mathbb{U}/\mathbb{A}}$
となります。

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