内点とは、どんなものか分かりましたか???
初めての人には、少し分かりにくいかもしれませんが・・・
でも、もし内点というものを理解することができましたら、自信を持っても大丈夫です!!!
さて、長らくおまたせしました(><)
開集合の定義を述べます。
$\displaystyle{\mathbb{A}}$を実数
$\displaystyle{\mathbb{R}}$の部分集合として、
$\displaystyle{\mathbb{A}}$に含まれる全ての元が
$\displaystyle{\mathbb{A}}$の内点のとき、
$\displaystyle{\mathbb{A}}$を
開集合と言います。
また、開集合の補集合は
閉集合と呼ばれます。
例えば、開区間
$\displaystyle{S_p}$の元は絶対にその開区間
$\displaystyle{S_p}$自身の内点になりますので、
開区間は開集合になります。
実数全体の集合
$\displaystyle{\mathbb{R}}$の場合も、先ほど述べた通りに実数全ての数は実数の内点になりますので
$\displaystyle{\mathbb{R}}$は開集合です。
また、少し分かりにくいかもしれませんが、空集合
$\displaystyle{\phi}$も開集合になります。
空集合は内点ではない元すらも含んでいない、と考えると開集合とみなせますが・・・まぁ分からなければ無理矢理解釈でお願いします。
また、開集合の任意個の和集合も開集合になり、(→
証明)
2つの開集合の共通部分も開集合になります。(→
証明)
だから、
$\displaystyle{(1,3)}$と
$\displaystyle{(2,4)}$の和集合である
$\displaystyle{(1,4)}$も、開集合ですし、
$\displaystyle{(1,3)}$と
$\displaystyle{(2,4)}$の共通部分である
$\displaystyle{(2,3)}$も、開集合です。
また、
$\displaystyle{\mathbb{R}-\{0\}}$
のような、実数を全て集めた集合から、ただ1つの数字「0」だけを除いた集合も開集合になりますが、
$\displaystyle{(-\infty,0)}$と
$\displaystyle{(0,\infty)}$の2つの開集合の和集合として考えたら分かりやすいと思います。