内点
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内点の定義
以下に
内点
の定義を述べます↓↓
$\displaystyle{A{\subset}X}$
として、
$\displaystyle{a}$
が
$\displaystyle{A}$
の内点 とは、 ある開集合
$\displaystyle{U_a}$
が存在して、
$\displaystyle{a{\in}U_a{\subset}A}$
となることである
内点と近傍の関係
この「内点」の定義・・・どこかで見たことがありませんか?
前回やった
近傍
の定義とよく似ています↓↓↓
$\displaystyle{A{\subset}X}$
として、
$\displaystyle{A}$
が
$\displaystyle{a}$
の近傍 とは、 ある開集合
$\displaystyle{U_a}$
が存在して、
$\displaystyle{a{\in}U_a{\subset}A}$
となることである
実は!
内点の定義と近傍の定義は、主語・述語が逆転した関係となっています。
つまり、以下のことがいえます。
$\displaystyle{A}$
が
$\displaystyle{a}$
の近傍
$\displaystyle{\Leftrightarrow}$
$\displaystyle{a}$
が
$\displaystyle{A}$
の内点
ということで、前回のコピペですがf(^-^
$\displaystyle{0}$
は
$\displaystyle{[-1,1]}$
の内点です。
$\displaystyle{0}$
は
$\displaystyle{(-1,1) \cup \{100000000\}}$
の内点です。
$\displaystyle{0}$
は
$\displaystyle{\{0\}}$
の内点ではありません。
$\displaystyle{0}$
は
$\displaystyle{\{-1,0,1\}}$
の内点ではありません。
・
・
・
通常の位相における内点
ところで“内点”という言葉は
このページ
でも見たことがあると思います。
それは、このような感じの定義でしたね。
$\displaystyle{A{\subset}\mathbb{R}}$
つまり
$\displaystyle{p}$
を実数
$\displaystyle{\mathbb{R}}$
の部分集合として、
$\displaystyle{p}$
が
$\displaystyle{A}$
の内点とは ある開区間
$\displaystyle{S_p}$
が存在して
$\displaystyle{p{\in}S_p{\subset}A}$
となることである
$\displaystyle{\mathbb{R}}$
上の通常の位相において、
“開区間”というのは“開基”のことです。
つまり、上の定義をもう少し一般化しますと、以下のようになります。
$\displaystyle{\mathscr{B}}$
を位相空間
$\displaystyle{X}$
の開基とする。
$\displaystyle{A{\subset}X}$
として
$\displaystyle{a}$
が
$\displaystyle{A}$
の内点とは、 ある
$\displaystyle{\mathscr{B}}$
の元
$\displaystyle{U_a}$
が存在して
$\displaystyle{a{\in}U_a{\subset}A}$
となることである。
一方、先ほどの内点の定義はこうでした↓↓
$\displaystyle{A{\subset}X}$
として、
$\displaystyle{a}$
が
$\displaystyle{A}$
の内点とは、 ある開集合
$\displaystyle{U_a}$
が存在して、
$\displaystyle{a{\in}U_a{\subset}A}$
となることである
実は、この2つの命題は同値となります(
→証明
)
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