内点
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内点の定義

以下に内点の定義を述べます↓↓

$\displaystyle{A{\subset}X}$として、
$\displaystyle{a}$$\displaystyle{A}$の内点 とは、 ある開集合$\displaystyle{U_a}$が存在して、
$\displaystyle{a{\in}U_a{\subset}A}$
となることである

内点と近傍の関係

この「内点」の定義・・・どこかで見たことがありませんか?

前回やった近傍の定義とよく似ています↓↓↓

$\displaystyle{A{\subset}X}$として、
$\displaystyle{A}$$\displaystyle{a}$の近傍 とは、 ある開集合$\displaystyle{U_a}$が存在して、
$\displaystyle{a{\in}U_a{\subset}A}$
となることである


実は!
内点の定義と近傍の定義は、主語・述語が逆転した関係となっています。


つまり、以下のことがいえます。

$\displaystyle{A}$$\displaystyle{a}$の近傍$\displaystyle{\Leftrightarrow}$$\displaystyle{a}$$\displaystyle{A}$の内点

ということで、前回のコピペですがf(^-^ $\displaystyle{0}$$\displaystyle{[-1,1]}$の内点です。
$\displaystyle{0}$$\displaystyle{(-1,1) \cup \{100000000\}}$の内点です。
$\displaystyle{0}$$\displaystyle{\{0\}}$の内点ではありません。
$\displaystyle{0}$$\displaystyle{\{-1,0,1\}}$の内点ではありません。
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通常の位相における内点

ところで“内点”という言葉はこのページでも見たことがあると思います。


それは、このような感じの定義でしたね。

$\displaystyle{A{\subset}\mathbb{R}}$
つまり$\displaystyle{p}$を実数$\displaystyle{\mathbb{R}}$の部分集合として、
$\displaystyle{p}$$\displaystyle{A}$の内点とは ある開区間$\displaystyle{S_p}$が存在して
$\displaystyle{p{\in}S_p{\subset}A}$
となることである



$\displaystyle{\mathbb{R}}$上の通常の位相において、
“開区間”というのは“開基”のことです。

つまり、上の定義をもう少し一般化しますと、以下のようになります。


$\displaystyle{\mathscr{B}}$を位相空間$\displaystyle{X}$の開基とする。
$\displaystyle{A{\subset}X}$として
$\displaystyle{a}$$\displaystyle{A}$の内点とは、 ある$\displaystyle{\mathscr{B}}$の元$\displaystyle{U_a}$が存在して
$\displaystyle{a{\in}U_a{\subset}A}$
となることである。



一方、先ほどの内点の定義はこうでした↓↓

$\displaystyle{A{\subset}X}$として、
$\displaystyle{a}$$\displaystyle{A}$の内点とは、 ある開集合$\displaystyle{U_a}$が存在して、
$\displaystyle{a{\in}U_a{\subset}A}$
となることである



実は、この2つの命題は同値となります(→証明)


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