まず、開円自体は当然開集合です。
$\displaystyle{p\in{S_p}\subset\mathbb{A}}$
のとき、
$\displaystyle{S_p}$を開円に選べばいいのです。
ところで、直線や線分・曲線などの線は開集合になりません。
線上の点をどこにとっても線が開円に収まることはなく、はみ出てしまうからです。
また、1次元では境界(両端)を持つ区間は開集合ではないのと同様に、
2次元、つまり
$\displaystyle{\mathbb{R}^2}$上の開集合では
境界を含む領域は開集合になりません。
しかし、もし境界を含まない領域でしたら、1次元と同様に開集合になります。