単位元と逆元
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単位元とは?

これからは、
$\displaystyle{a{\circ}b}$
と書かずに、二項演算子の記号を省略して
$\displaystyle{ab}$
と書くことがあります。
この表記を見たら、「二項演算子の記号が省略されてるんだな〜」と考えてください。


さて、$\displaystyle{\mathbb{S}}$を半群とします。
半群とは、結合法則を持った二項演算子が定義されている集合のことでした。
このとき、ある$\displaystyle{\mathbb{S}}$の元$\displaystyle{e}$が存在して、
$\displaystyle{\mathbb{S}}$の全ての元$\displaystyle{a}$に対し、
$\displaystyle{ae=ea=a}$
が成り立っているとします。

このとき$\displaystyle{e}$のことを単位元と言います。


例えば、普通の足し算、つまり「+」という二項演算子の単位元は0です。
だって、0を足しても元の値は変わりませんよね?
また、普通の掛け算、つまり「×」という二項演算子の単位元は1です。
なぜなら、1を掛けても値は変わらないからです。

つまり、単位元とは、その元で演算しても元の値を変えない元のことです。
単位元は、相手の元の値そのままを結果とします。

分かるとは思いますが、行列の積の場合、単位行列(対角成分が1の行列)が単位元となり、
行列の足し算の場合では0行列(全ての要素が0の行列)が単位元となります。



ところで通常の二項演算子は、「演算の順序を変えても(例えば、abとbaでは)、値が同じになる」とは限りませんでした。(参照☆)
しかし、単位元を用いた演算では、演算の順序を変えても同じ値にならなければなりません。

例えば、もし

$\displaystyle{ae=a}$

が成り立っていても、

$\displaystyle{ea=何か違う値}$
となってたら、これは単位元とはいいません。

ところで、
$\displaystyle{ae=a}$
が成り立つならば、このeを右単位元
$\displaystyle{ea=a}$
が成り立つならば、このeを左単位元
ということもあるそうです。


また、単位元は各演算子に、多くても1つしか存在しません。
複数単位元が存在する、ということはありません(→証明)。

逆元とは?

単位元は分かりましたか???
二項演算子に入れてみても値が変わらない・・・というものが単位元です。

それでは、ここでは「逆元」について解説していきましょ。

半群があるとします。んでもって、

$\displaystyle{b}$$\displaystyle{a}$の逆元である」とは、
$\displaystyle{ab=ba=e}$
となることをいいます。

つまり逆元とは、その元で演算したら単位元になる元のことを言います。


例を出していきましょう。
普通の「+」という演算子に関する単位元は0です。
だから「3」の逆元は「−3」になります。
なぜなら、
$\displaystyle{3+(-3)=0}$だからです。

また、普通の「×」という演算子に関する単位元は1です。
だから「3」の逆元は「
」になります。
なぜなら、
$\displaystyle{3\times\frac13=1}$
だからです。


また、行列の時は、逆元は、行列の逆行列に相当するのではないでしょうか?
(↑もちろん二項演算子を行列の積として考えた時)




こう考えると、
「−」は、「+」に関する逆元を演算するものだ、と考えられ、また
「×」は、「÷」に関する逆元を演算するものだ、と考えられませんか?

このように、逆元を持つ元のことを可逆元、又は正則元単元とも呼んだりします。
「単元」とは、「単位元」と言葉が似ていて間違えやすいので、本当に気をつけましょう!!!

当然ですが、もし単位元がなければ逆元も存在しません。
だって単位元がなければ逆元の定義のしようがないですから。

もし、逆元が存在するとしたら、それは各元につき、多くても一つしかないです。
一つの元に対し、逆元が複数存在する、というのはまずありえません(→証明)。


逆元の表記の仕方はいろいろありますが、$\displaystyle{a}$の逆元のことを
$\displaystyle{a^{-1}}$
または、
$\displaystyle{-a}$
と表したりします。


ところで、当然ですが
単位元$\displaystyle{e}$の逆元は$\displaystyle{e}$
つまり自分自身です。


また、$\displaystyle{ab}$を演算子で演算した後の逆元、つまり
$\displaystyle{(ab)^{-1}}$は、
$\displaystyle{b^{-1}a^{-1}}$
となります。

なぜなら、
$\displaystyle{(ab)(b^{-1}a^{-1})}$
$\displaystyle{=a(b(b^{-1}a^{-1}))}$
$\displaystyle{=a((bb^{-1})a^{-1})}$
$\displaystyle{=a(ea^{-1})}$
$\displaystyle{=aa^{-1}}$

$\displaystyle{=e}$
となるからです。
これは、結合法則、つまり「どこから演算してもいいよ」という規則に従いました。

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